Zasada d’Alemberta

Zasada d’Alemberta – sposób ogólnego sformułowania praw ruchu dla układu punktów materialnych, których ruch ograniczony jest więzami holonomicznymi dwustronnymi. Z zasady d’Alemberta można wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju.

Zgodnie z zasadą d’Alemberta dla układu n punktów materialnych

„Praca zsumowanych sił zewnętrznych i sił bezwładności na drodze będącej przesunięciem wirtualnym, czyli praca wirtualna, jest równa zeru”.

Zasadę tę można zapisać wzorami

$\delta W=0,$

$\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{i}+{\vec {F}}_{\mathrm {b} i}\right){\delta }{\vec {r}}_{i}=0,$

gdzie:

${\vec {F}}_{i}$ – siła działająca na $i$-ty element układu,

${\vec {F}}_{\mathrm {b} i}=-m_{i}{\vec {a}}_{i}$ – siła bezwładności działająca na $i$-ty element układu o masie $m_{i},$

${\vec {a}}_{i}$ – przyspieszenie $i$-tego elementu układu,

$\delta {\vec {r}}_{i}$ – przesunięcie wirtualne $i$-tego elementu układu.

Sformułowana przez d’Alemberta, w postaci analitycznej zasada została zapisana przez Lagrange’a w Méchanique Analitique z roku 1788.

Więzy określone są przez $m$ równań

$f_{j}\left(x,y,z,t\right)=0,$

gdzie $j=1,2,\dots ,m.$ Dla każdego z tych równań współrzędne przesunięć wirtualnych muszą spełniać warunki

$\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial f_{j}}{\partial y_{i}}}\delta y_{i}+{\frac {\partial f_{j}}{\partial z_{i}}}\delta z_{i}\right)=0.$

Zasada d’Alemberta może zostać uogólniona dla układów o więzach nieholonomicznych.

Związek z II zasadą dynamiki Newtona

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa siła działająca na każdy element układu powoduje jego przyspieszenie zgodnie z równaniem

${\vec {F}}_{\mathrm {wi} }={\vec {a}}_{i}m_{i}.$

Siły wypadkowe można rozdzielić na siły reakcji więzów $F_{\mathrm {R} i}$ i pozostałe działające siły $F_{i},$ wówczas

${\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }+{\vec {F}}_{i}={\vec {a}}_{i}m_{i},$

stąd

${\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }+{\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}=0.$

Trzeci człon w tym równaniu może być również traktowany jak siła. Siłę tę d’Alembert nazwał siłą bezwładności. Praca wirtualna wszystkich tych sił na drodze stycznej do hiperpowierzchni, określonej przez równania więzów, a określonej w przestrzeni stanów, równa będzie

$\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }+{\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}\right)\delta {\vec {r}}_{i}=0,$

$\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }\delta {\vec {r}}_{i}+\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}\right)\delta {\vec {r}}_{i}=0.$

Ale siły reakcji są zawsze prostopadłe do powierzchni więzów, dlatego praca wirtualna wykonywane przez te siły zeruje się

$\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }\delta {\vec {r}}_{i}=0,$

stąd wynika

$\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}\right)\delta {\vec {r}}_{i}=0.$

Widać stąd, że w porównaniu z równaniami Newtona, zasada d’Alemberta ma tę przewagę, że pozwala wyeliminować z rozważań siły reakcji.

Zobacz też

• zasada Lagrange’a

Bibliografia

• Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
• Szczepan Szczeniowski: Fizyka doświadczalna. Mechanika i akustyka, PWN, Warszawa 1980.