Wzór Picka

Wzór Picka – wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymi na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: $P=W+{\frac {1}{2}}B-1,$

gdzie $W$ oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a $B$ oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta.

Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta. Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów.

Uogólnienie dla wielokątów złożonych z trójkątów pierwotnych

Trójkątem pierwotnym jest trójkąt, którego wierzchołki są punktami kratowymi i są to jedyne punkty kratowe. Ze wzoru Picka wynika, że ma on pole ${\frac {1}{2}}.$

Rozważmy wielokąt $R,$ który ma triangulację na trójkąty pierwotne. Oznaczmy przez $V$ liczbę wierzchołków w triangulacji, $K$ liczbę krawędzi triangulacji, $K_{B}$ liczbę krawędzi brzegowych triangulacji, a $S$ liczbę ścian triangulacji.

Zliczając krawędzie ścian triangulacji na dwa sposoby, otrzymujemy równość $3S=2K-K_{B}$

{\begin{aligned}S&=2K-K_{B}-2S+2V-2V\\[2pt]&=2V-K_{B}-2(V-K+S)\\[2pt]&=2W+B+(B-K_{B})-2(V-K+S)\\[2pt]&=2W+B-2\chi (R)+\chi (\mathrm {bd} \,R),\end{aligned}}

gdzie $\chi$ oznacza charakterystykę Eulera, a $\mathrm {bd} \,R$ brzeg figury $R$

P={\frac {1}{2}}S=W+{\frac {1}{2}}B-\chi (R)+{\frac {1}{2}}\chi (\mathrm {bd} \,R).

Wzór ten jest prawidłowy w szczególności dla wielokątów prostych, ponieważ dla nich charakterystyka Eulera jest równa $1,$ a charakterystyka brzegu $0.$

Linki zewnętrzne

JarosławJ. Górnicki JarosławJ., „Wodny” dowód twierdzenia Picka, „Delta”, grudzień 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-12-05] .
Tom Davis: Pick’s Theorem. [dostęp 2016-12-11].
Proving Pick's Theorem, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 16 marca 2017 [dostęp 2024-08-29].