Wielomian cyklotomiczny

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ $n$-ty wielomian cyklotomiczny jest zdefiniowany jako

$\Phi _{n}(X)=\prod _{\xi }(X-\xi )=\prod _{\stackrel {1\leqslant k\leqslant n}{\gcd(k,n)=1}}\left(X-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right),$

gdzie iloczyn przebiega przez wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki stopnia $n$ (takie, że $\xi$ nie jest pierwiastkiem mniejszego stopnia).

Własności

• stopień $\Phi _{n}(X)$ wynosi $\phi (n)$ (funkcja Eulera);
• wielomian $\Phi _{n}(X)$ dzieli $X^{n}-1,$ ale nie dzieli $X^{k}-1$ dla żadnego $k<n;$
• współczynniki $\Phi _{n}(X)$ są całkowite;
• wielomian $\Phi _{n}(X)$ jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych;
• ciało cyklotomiczne, będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych o pierwiastki $n$-tego stopnia z jedności, jest ciałem rozkładu wielomianu $\Phi _{n}(X);$
• zachodzą wzory

$X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(X),$

$\Phi _{n}(X)=\prod _{d|n}(X^{d}-1)^{\mu ({\frac {n}{d}})},$

gdzie $\mu (n)$ jest funkcją Möbiusa.

Dla liczb pierwszych $p$

$\Phi _{p}(X)=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots +X+1.$

Wielomiany cyklotomiczne mogą być wykorzystane przy elementarnym dowodzie istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych przystających do 1 modulo $n$ (szczególny przypadek twierdzenia Dirichleta).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cyclotomic Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).