Sistema dinámico

O atractor de Lorenz xorde no estudo do oscilador de Lorenz, un sistame dinámico.

Un sistema dinámico é un sistema cun estado que evoluciona co tempo. Os sistemas físicos en situación non estacionaria son exemplos de sistemas dinámicos, pero tamén existen modelos económicos, matemáticos e doutros tipos que son sistemas abstractos que son, ademais, sistemas dinámicos. O comportamento en devandito estado pódese caracterizar determinando os límites do sistema, os elementos e as súas relacións; desta forma pódense elaborar modelos que buscan representar a estrutura do mesmo sistema.

Ao definir os límites do sistema faise, en primeiro lugar, unha selección daqueles compoñentes que contribúan a xerar os modos de comportamento, e logo determínase o espazo onde levará a cabo o estudo, omitindo toda clase de aspectos irrelevantes.

Historia

Adoita considerarse a Henri Poincaré como o fundador dos sistemas dinámicos. Poincaré publicou dous monografías clásicas, "New Methods of Celestial Mechanics" (1892–1899) e "Lectures on Celestial Mechanics" (1905–1910). Nelas, aplicou con éxito os resultados das súas investigacións ao problema do movemento de tres corpos e estudou detalladamente o comportamento das solucións (frecuencia, estabilidade, asíntotas etc). Estes artigos incluían o teorema da recorrencia de Poincaré, que afirma que certos sistemas, despois dun tempo suficientemente longo mais finito, volverá a un estado moi próximo ao inicial.

Aleksandr Lyapunov desenvolveu moitos métodos importantes de aproximacións. Os seus métodos, que desenvolveu en 1899, fixeron posible definir a estabilidade de conxuntos de ecuacións diferenciais ordinarias. Creou a teoría moderna da estabilidade dun sistema dinámico.

En 1913, George David Birkhoff probou o último teorema xeométrico de Poincaré, caso especial do problema dos tres corpos, resultado que o fixo célebre. En 1927 publicou Dynamical Systems e en 1931 descubriu o que se coñece como teorema ergódico, que resolveu, polo menos en principio, un problema fundamental de mecánica estatística. O teorema ergódico tamén ten repercusións na dinámica.

Stephen Smale tamén fixo avances significativos. A súa primeira contribución foi a ferradura de Smale que deu pulo a investigación dos sistemas dinámicos. Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky desenvolveu o teorema de Sharkovsky sobre os períodos dos sistemas dinámicos discretos en 1964. Unha das implicacións do teorema é que se un sistema dinámico discreto na recta real ten un punto periódico de período 3, entón debe ter puntos periódicos de calquera outro período.

Elementos para ter en conta

En canto á elaboración dos modelos, os elementos e as súas relacións, débese ter en conta:

1. Un sistema está formado por un conxunto de elementos en interacción.
2. O comportamento do sistema pódese mostrar a través de diagramas causais.
3. Hai varios tipos de variables: variables exóxenas (son aquelas que afectan o sistema sen que este as provoque) e as variables endóxenas (afectan o sistema pero este si as provoca).

Exemplo de sistema dinámico

Un exemplo dun sistema dinámico pódese ver nunha especie de peces que se reproduce de tal forma que este ano a cantidade de peixes é $X_{k}$, o ano próximo será $X_{k+1}$. Desta maneira pódese pór nomes ás cantidades de peixes que haberá cada ano, así: ano inicial $X_{0}$, ano primeiro $X_{1}$,........... ......, ano k $X_{k}$.

Como se pode observar: $x_{k+1}=f(x_{k})\,\!$, cúmprese para calquera ano k; o cal significa que a cantidade de peixes pode determinarse se se coñece a cantidade do ano anterior. Por conseguinte esta ecuación representa un sistema dinámico.

Tipos de sistemas dinámicos

Os sistemas dinámicos divídense en sistemas discretos no tempo e continuos no tempo. Un sistema dinámico chámase discreto se o tempo se mide en pequenos intres; estes son modelados como relacións recursivas, tal como a ecuación loxística:

$x_{t+1}=ax_{t}(1-x_{t})\,\!$

onde t denota os pasos discretos do tempo e x é a variable que cambia con este. Un sistema dinámico discreto determinista xeral pode modelarse mediante unha ecuación abstracta do tipo:

Se o tempo se mide en forma continua, o sistema dinámico continuo resultante exprésase como unha ecuación diferencial ordinaria; por exemplo:

${\frac {dx}{dt}}=ax(1-x)$

onde x é a variable que cambia co tempo t. A variable x é normalmente un número real, aínda que tamén pode ser un vector en R^k.

Sistemas lineares e non lineares

Distínguese entre sistemas dinámicos lineares e sistemas dinámicos non lineares. Nos sistemas lineares, o segundo membro da ecuación é unha expresión que depende en forma linear de x, tal como:

Se se coñecen dúas solucións para un sistema linear, a suma delas é tamén unha solución; isto coñécese como principio de superposición. En xeral, as solucións provenientes dun espazo vectorial permiten o uso da álxebra linear e simplifican significativamente a análise. Para sistemas lineares continuos, o método da transformada de Laplace tamén pode empregarse para transformar a ecuación diferencial nunha ecuación alxébrica; así mesmo que para os sistemas lineares discretos, o método da transformada Z tamén pode empregarse para transformar a ecuación diferencial nunha ecuación alxébrica.

Os sistemas non lineares son moito máis difíciles de analizar e a miúdo exhiben un fenómeno coñecido como caos, con comportamentos totalmente impredicibles.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden (1978). Foundations of mechanics. Benjamin–Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. 
• Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
• Christian Bonatti; Lorenzo J. Díaz; Marcelo Viana (2005). Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Springer. ISBN 3-540-22066-6. 
• Stephen Smale (1967). "Differentiable dynamical systems". Bulletin of the American Mathematical Society 73 (6): 747–817. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1. 
• V. I. Arnold (1982). Mathematical methods of classical mechanics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. 
• Jacob Palis and Welington de Melo (1982). Geometric theory of dynamical systems: an introduction. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90668-1. 
• David Ruelle (1989). Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory. Academic Press. ISBN 0-12-601710-7. 
• Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, eds. (1991). Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces. Oxford University Press. ISBN 0-19-853390-X. 
• Ralph H. Abraham and Christopher D. Shaw (1992). Dynamics—the geometry of behavior, 2nd edition. Addison-Wesley. ISBN 0-201-56716-4. 

Outros artigos

• Sistema non linear
• Cibernética
• Teoría de sistemas
• Retroalimentación
• Serie temporal
• Plan de negocio
• Sistema de control

Ligazóns externas

• Teoría y ejercicios prácticos de Dinámica de Sistemas
• Boletín de Dinámica de Sistemas
• Revista de Dinámica de Sistemas