Potencia perfecta

Mostra, con regletas Cuisenaire, da natureza de potencia perfecta de 4, 8 e 9

En matemáticas, unha potencia perfecta é un número natural que é un produto de factores naturais iguais, ou, noutras palabras, un número enteiro que se pode expresar como un cadrado ou unha potencia enteira superior doutro enteiro maior que un. Máis formalmente, n é unha potencia perfecta se existen números naturais m > 1 e k > 1 tal que m^k = n. Neste caso, n pódese chamar k-ésima potencia perfecta. Se k = 2 ou k = 3, entón n chámase cadrado perfecto ou cubo perfecto, respectivamente.

Exemplos e sumas

Pódese xerar unha secuencia de potencias perfectas iterando os posíbeis valores de m e k. As primeiras potencias perfectas ascendentes en orde numérica (mostrando potencias con valores duplicados) son (secuencia A072103 na OEIS)  :

$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,$ $2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados como 3⁴ = 81 e 9² = 81) é 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.$

que se pode demostrar do seguinte xeito:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.$

As primeiras potencias perfectas sen duplicados son:

(ás veces 0 e 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 225, 52, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024,... (secuencia A001597 na OEIS)

A suma dos recíprocos das potencias perfectas p sen duplicados é:

$\sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

onde μ (k) é a función de Möbius e ζ(k) é a función zeta de Riemann.

Segundo Euler, Goldbach mostrou (nunha carta agora perdida) que a suma de 1/p − 1 sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e excluíndo os duplicados, é 1:

Isto ás veces coñécese como o teorema de Goldbach-Euler.

Detección de potencias perfectas

Detectar se un número natural n dado é ou non unha potencia perfecta pódese conseguir de moitas formas diferentes, con distintos niveis de complexidade. Un dos métodos máis sinxelos deste tipo é considerar todos os valores posíbeis para k en cada un dos divisores de n, ata $k\leq \log _{2}n$. Logo, se os divisores de $n$ son $n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}$ entón un dos valores $n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots$ debe ser igual a n se n é realmente unha potencia perfecta.

Este método pódese simplificar inmediatamente considerando só os valores primos de k. Isto é porque se $n=m^{k}$ para un composto $k=ap$ onde p é primo, entón isto pode simplemente reescribirse como $n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}$ . Debido a este resultado, o valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.

Se se coñece a factorización completa de n, digamos $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ onde o $p_{i}$ son primos distintos, entón n é unha potencia perfecta se e só se $\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1$ onde mcd denota o máximo común divisor. Como exemplo, considere n = 2⁹⁶ ·3⁶⁰ ·7²⁴ . Dado que mcd(96, 60, 24) = 12, n é unha potencia 12 perfecta (e unha potencia 6, 4, cubo e cadrado perfectos, xa que 6, 4, 3 e 2 dividen a 12).

Ocos entre potencias perfectas

En 2002 o matemático romanés Preda Mihăilescu demostrou que o único par de potencias perfectas consecutivas é 2³ = 8 e 3² = 9, demostrando así a conxectura de Catalan.

A conxectura de Pillai afirma que para calquera número enteiro positivo dado k só hai un número finito de pares de potencias perfectas cuxa diferenza é k. Este é un problema sen resolver.

Véxase tamén

Bibliografía

• Daniel J. Bernstein (1998). "Detecting perfect powers in essentially linear time" (PDF). Mathematics of Computation 67 (223): 1253–1283. doi:10.1090/S0025-5718-98-00952-1. 

Outros artigos

• Función zeta de Riemann.

Ligazóns externas

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)