Gramiano de controlabilidade

En control de procesos, o Gramiano de controlabilidade é un Gramiano que se usa para determinar se un sistema lineal é controlábel. Para un sistema lineal e constante:

${\dot {x}}=Ax+Bu$

o Gramiano de controlabilidade defínese como:

$W_{c}(t)=\int \limits _{0}^{t}e^{A\tau }BB^{T}e^{A^{T}\tau }d\tau =\int \limits _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t-\tau )}d\tau$

Se a matriz $W_{c}$ é non singular, é dicir $W_{c}$ ten rango n (sendo n menor de entre o número de columnas ou filas), para todo $t>0$, dise entón que o par $(A,B)$ é controlábel.

Sistemas lineais invariantes no tempo de forma

${\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$,

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

son controlabeis no intervalo $[t_{0},t_{1}]$ se as filas da matriz produto $\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )$, onde $\Phi$ é a matriz de transmisión de estado, son linealmente independentes. O Gramiano úsase para demostrar a independencia linear de $\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )$. Para ser linealmente independente, a matriz Gramiana $W_{c}$ ten que ser invertíbel.

$W_{c}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )d\tau$