Kehä (geometria)

Piin arvon ja kehän pituuden välinen yhteys. Ympyrän halkaisija on yksi.

Kehä on geometriassa ympyrän reunaviiva eli piiri, joka sulkee ympyräkiekon sisäänsä. Kehän pisteet saadaan piirtämällä harpin kiinteällä säteellä rengas annetun ympyrän keskipisteen ympäri. Tasogeometrian määritelmä onkin, että kehä koostuu pisteistä, joiden etäisyys annetusta pisteestä on kaikilla sama.

Ympyrän suomalainen termi on kaksijakoinen: toisaalta se tarkoittaa ympyrää pyöreänä kiekkona ja toisaalta kehänä. Ympyräkiekolla on keskipiste ja kehä kiekon osina. Analyyttisessä geometriassa ympyrän yhtälö viittaa ainoastaan kehään, ja ympyräkiekkoon viitataan erikseen ja harvemmin. Kumpaa tapausta tarkoitetaan selviää asiayhteydestä.

Kehän ominaisuuksia

Pii

Ympyrän kehän pituutta on osattu laskea varsin kauan. Oleellista oli verrata kehän ympärysmittaa sen halkaisijaan, jolloin osamäärästä saadaan suhdeluku $\pi$. Piistä on ollut historian kuluessa käytössä erilaisia likiarvoja, joilla ympyrän kehään ja pinta-alaan liittyvät laskelmat on suoritettu. Yleensä riittää likiarvo $\pi =3,14159$.

Kehän pituus

Kehän pituus p saadaan

$p=2\pi r=\pi d,$

kun ympyrän säde on r ja halkaisija d.

Kehä on pienin mahdollinen piiri, jolla voi ympäröidä annetun kokoisen pinta-alan.

Kaareutuminen

Kehän kaarevuus on kaarevuussäteen käänteisluku. Mitä voimakkaamin kehä kaareutuu, sitä pienemmäksi sen säde tulee. Kaarevuuden $\kappa$ ja kaarevuussäteen R välillä on voimassa

$\kappa ={\frac {1}{R}}.$

Eri ulottuvuudet

Ympyrän kehä on kaksiulotteiseen avaruuteen piirretty kuvio. Yksiulotteinen vastine kehälle olisi lukusuoralla oleva pistejoukko, jonka etäisyys annetusta pisteestä on vakio. Lukusuoralla vain kaksi pistettä toteuttaa tämän ehdon. Kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa kehän vastine on tyhjä pallokuori, koska kuoren pisteet sijaitsevat yhtä kaukana pallon keskipisteestä.

Analyyttinen geometria

Pääartikkeli: Ympyrän yhtälö

Kehän yhtälö on sama kuin ympyrän yhtälö johtuen analyyttisen geometrian nimityksestä. Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan pisteeseen piirretyn ympyrän kehän yhtälöksi

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}\,\!$

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\,\!$ , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja.

Etymologia

Kehä esiintyy suomen lähi- ja etäsukulaiskielissä ulkoasultaan melko samantapaisena, vaikka etäsukulaiskielissä sanan vanhahtava muoto (alkuperäinen *kečä) on dominoi voimakkaammin. Sukulaiskielissä vastaava sana merkitsee kehän lisäksi myös auringon kehä, päivä, rengas, vanne ja merran vanne. Joka tapauksessa sanan ensimmäinen esiintyminen kirjoitetussa suomenkielisenä on Agricolan tekstissä.

Katso myös

• Ympyrä
• Ympyrän keskipiste
• Ympyrän kaari