Nelinearni sistem

U matematici i nauci, nelinearni sistem je sistem u kome promena izlaza nije proporcionalna promeni na ulazu.^[1]^[2]^[3] Nelinearni problemi su važni za inženjere, biologe,^[4]^[5]^[6] fizičare,^[7]^[8] matematičare i mnoge druge naučnike, jer je većina sistema po svojoj prirodi nelinearna.^[9] Nelinearni dinamički sistemi, koji opisuju promene promenljivih tokom vremena, mogu se činiti haotičnim, nepredvidljivim ili kontraintuitivnim, za razliku od mnogo jednostavnijih linearnih sistema.

Tipično, ponašanje nelinearnog sistema opisano je u matematici nelinearnim sistemom jednačina, koje su skup istovremenih jednačina u kojima se nepoznate (ili nepoznate funkcije u slučaju diferencijalnih jednačina) pojavljuju kao promenljive polinoma sa stepenom većim od jedan ili u argumentu funkcije koja nije polinom stepena jedan. Drugim rečima, u nelinearnom sistemu jednačina jednačine koje treba rešiti ne mogu se zapisati kao linearna kombinacija nepoznatih promenljivih ili funkcija koje se pojavljuju u njima. Sistemi se mogu definisati kao nelinearni, bez obzira da li se poznate linearne funkcije pojavljuju u jednačinama. Konkretno, diferencijalna jednačina je linearna ako je linearna u odnosu na nepoznatu funkciju i njene derivate, čak i ako je nelinearna u pogledu ostalih promenljivih koje se u njoj pojavljuju.

Kako je nelinearne dinamičke jednačine teško rešiti, nelinearni sistemi se obično aproksimiraju linearnim jednačinama (lineararizacija). To dobro funkcioniše do neke tačnosti i određenog opsega ulaznih vrednosti, mada se neki zanimljivi fenomeni, poput solitona, haosa,^[10] i singulariteta, skrivaju linearizacijom. Iz ovog sledi da se neki aspekti dinamičkog ponašanja nelinearnog sistema mogu činiti kontratuktivnim, nepredvidljivim ili čak haotičnim. Iako takvo haotično ponašanje može da liči na slučajno ponašanje, ono zapravo nije randomno. Na primer, neki aspekti vremenskih prilika izgledaju haotično, pri čemu jednostavne promene u jednom delu sistema proizvode složene efekte širom sistema. Ova nelinearnost je jedan od razloga zašto su precizne dugoročne metereološke prognoze nemoguće sa sadašnjom tehnologijom.

Neki autori koriste termin nelinearna nauka za izučavanje nelinearnih sistemsa. Drugi to osporavaju, poput Stanislava Ulama: „Korištenje izraza kao što je nelinearna nauka slično je pozivanju na najveći deo zoologije kao na proučavanje neslonovskih životinja.”^[11]

Definicija

U matematici, linearna mapa (ili linearna funkcija) $f(x)$ je ona koja zadovoljava sledeća svojstva:

Aditivnost ili princip superpozicije: $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
Homogenost: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

Aditivnost podrazumeva homogenost za svako racionalno α, i, za neprekidne funkcije, za svako realno α. Za kompleksno α, homogenost ne sledi iz aditivnosti. Na primer, antilinearna mapa je aditivna, ali nije homogena. Uslovi aditivnosti i homogenosti se često kombinuju u principu superpozicije

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

Jednačina napisana kao

f(x)=C

se naziva linearnom ako je $f(x)$ linearna mapa (kao što je gore definisanao), a inače nonlinearna. Jednačina se naziva homogenom ako je $C=0$ .

Definicija $f(x)=C$ je veoma generalna u smislu da $x$ može da bude bilo koji senzibilni matematički objekat (broj, vektor, funkcija, etc.), i funkcija $f(x)$ može doslovno da bude bilo koje mapiranje, uključujući integraciju ili diferencijaciju sa asociranim ograničenjima (kao što su granične vrednosti). Ako $f(x)$ sadrži diferencijaciju u odnosu na $x$ , rezultat će biti diferencijalna jednačina.

Nelinearne algebrske jednačine

Glavni članci: Algebarska jednačina i Sistem polinomskih jednačina

Nelinearne algebarske jednačine, koje se takođe nazivaju polinomskim jednačinama, definisane su izjednačavanjem polinoma (stepena većeg od jedan) sa nulom. Na primer,

x^{2}+x-1=0\,.

Za pojedinačnu polinomsku jednačinu, algoritmi nalaženje korena se mogu koristiti za nalaženje rešenja jednačine (tj. skupa vrednosti promenljivih koje zadovoljavaju jednačinu). Međutim, sistemi algebarskih jednačina su komplikovaniji; njihovo proučavanje je jedna od motivacija polja algebarske geometrije, tegobne grane savremene matematike. Često je teško čak i da se odluči da li određeni algebrski sistem ima kompleksna rešenja (pogledajte teoremu nula^[12]^[13]). Ipak, u slučaju sistema sa ograničenim brojem složenih rešenja, ovi sistemi polinomnih jednačina su sada dobro izučeni i postoje efikasne metode za njihovo rešavanje.^[14]

Izvori

↑ Boeing, G. (2016). „Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction”. Systems 4 (4): 37. arXiv:1608.04416. DOI:10.3390/systems4040037.
↑ „Explained: Linear and nonlinear systems”. MIT News. Pristupljeno 30. 6. 2018.
↑ „Nonlinear systems, Applied Mathematics - University of Birmingham” (en-gb). www.birmingham.ac.uk. Pristupljeno 30. 6. 2018.
↑ „Nonlinear Biology” (en), The Nonlinear Universe, The Frontiers Collection, Springer Berlin Heidelberg, 2007, pp. 181–276, DOI:10.1007/978-3-540-34153-6_7, ISBN 9783540341529
↑ Korenberg, Michael J.; Hunter, Ian W. (mart 1996). „The identification of nonlinear biological systems: Volterra kernel approaches” (en). Annals of Biomedical Engineering 24 (2): 250–268. DOI:10.1007/bf02667354. ISSN 0090-6964.
↑ Mosconi, Francesco; Julou, Thomas; Desprat, Nicolas; Sinha, Deepak Kumar; Allemand, Jean-François; Vincent Croquette; Bensimon, David (2008). „Some nonlinear challenges in biology” (en). Nonlinearity 21 (8): T131. Bibcode 2008Nonli..21..131M. DOI:10.1088/0951-7715/21/8/T03. ISSN 0951-7715.
↑ Gintautas, V. (2008). „Resonant forcing of nonlinear systems of differential equations”. Chaos 18 (3): 033118. arXiv:0803.2252. Bibcode 2008Chaos..18c3118G. DOI:10.1063/1.2964200. PMID 19045456.
↑ Stephenson, C.; et., al. (2017). „Topological properties of a self-assembled electrical network via ab initio calculation”. Sci. Rep. 7: 41621. Bibcode 2017NatSR...741621S. DOI:10.1038/srep41621. PMC 5290745. PMID 28155863.
↑ de Canete, Javier, Cipriano Galindo, and Inmaculada Garcia-Moral (2011). System Engineering and Automation: An Interactive Educational Approach. Berlin: Springer. str. 46. ISBN 978-3642202292. Pristupljeno 20. 1. 2018.
↑ Nonlinear Dynamics I: Chaos Arhivirano 12 February 2008^{[nepoklapanje datuma]} na Wayback Machine-u at MIT's OpenCourseWare Arhivirano 2008-11-20 na Wayback Machine-u
↑ Campbell, David K. (25. 11. 2004). „Nonlinear physics: Fresh breather” (en). Nature 432 (7016): 455–456. Bibcode 2004Natur.432..455C. DOI:10.1038/432455a. ISSN 0028-0836. PMID 15565139.
↑ Brownawell, W. Dale (1987), „Bounds for the degrees in the Nullstellensatz”, Ann. of Math. 126 (3): 577–591, DOI:10.2307/1971361, MR 0916719
↑ Kollár, János (1988), „Sharp Effective Nullstellensatz”, Journal of the American Mathematical Society 1 (4): 963–975, DOI:10.2307/1990996, MR 0944576, arhivirano iz originala na datum 03. 03. 2014, pristupljeno 15. 08. 2019
↑ Lazard, D. (2009). „Thirty years of Polynomial System Solving, and now?”. Journal of Symbolic Computation 44 (3): 222–231. DOI:10.1016/j.jsc.2008.03.004.

Vanjske veze

Command and Control Research Program (CCRP)
New England Complex Systems Institute: Concepts in Complex Systems
Nonlinear Dynamics I: Chaos at MIT's OpenCourseWare Arhivirano 2008-11-20 na Wayback Machine-u
Nonlinear Model Library Arhivirano 2008-12-19 na Wayback Machine-u – (in MATLAB) a Database of Physical Systems
The Center for Nonlinear Studies at Los Alamos National Laboratory Arhivirano 2008-10-06 na Wayback Machine-u

[Boeing2016Systems-1] Boeing, G. (2016). „Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction”. Systems 4 (4): 37. arXiv:1608.04416. DOI:10.3390/systems4040037.

[2] „Explained: Linear and nonlinear systems”. MIT News. Pristupljeno 30. 6. 2018.

[3] „Nonlinear systems, Applied Mathematics - University of Birmingham” (en-gb). www.birmingham.ac.uk. Pristupljeno 30. 6. 2018.

[4] „Nonlinear Biology” (en), The Nonlinear Universe, The Frontiers Collection, Springer Berlin Heidelberg, 2007, pp. 181–276, DOI:10.1007/978-3-540-34153-6_7, ISBN 9783540341529

[5] Korenberg, Michael J.; Hunter, Ian W. (mart 1996). „The identification of nonlinear biological systems: Volterra kernel approaches” (en). Annals of Biomedical Engineering 24 (2): 250–268. DOI:10.1007/bf02667354. ISSN 0090-6964.

[6] Mosconi, Francesco; Julou, Thomas; Desprat, Nicolas; Sinha, Deepak Kumar; Allemand, Jean-François; Vincent Croquette; Bensimon, David (2008). „Some nonlinear challenges in biology” (en). Nonlinearity 21 (8): T131. Bibcode 2008Nonli..21..131M. DOI:10.1088/0951-7715/21/8/T03. ISSN 0951-7715.

[7] Gintautas, V. (2008). „Resonant forcing of nonlinear systems of differential equations”. Chaos 18 (3): 033118. arXiv:0803.2252. Bibcode 2008Chaos..18c3118G. DOI:10.1063/1.2964200. PMID 19045456.

[8] Stephenson, C.; et., al. (2017). „Topological properties of a self-assembled electrical network via ab initio calculation”. Sci. Rep. 7: 41621. Bibcode 2017NatSR...741621S. DOI:10.1038/srep41621. PMC 5290745. PMID 28155863.

[9] Canete, Javier, Cipriano Galindo, and Inmaculada Garcia-Moral (2011). System Engineering and Automation: An Interactive Educational Approach. Berlin: Springer. str. 46. ISBN 978-3642202292. Pristupljeno 20. 1. 2018.

[10] Nonlinear Dynamics I: Chaos Arhivirano 12 February 2008^{[nepoklapanje datuma]} na Wayback Machine-u at MIT's OpenCourseWare Arhivirano 2008-11-20 na Wayback Machine-u

[11] Campbell, David K. (25. 11. 2004). „Nonlinear physics: Fresh breather” (en). Nature 432 (7016): 455–456. Bibcode 2004Natur.432..455C. DOI:10.1038/432455a. ISSN 0028-0836. PMID 15565139.

[12] Brownawell, W. Dale (1987), „Bounds for the degrees in the Nullstellensatz”, Ann. of Math. 126 (3): 577–591, DOI:10.2307/1971361, MR 0916719

[13] Kollár, János (1988), „Sharp Effective Nullstellensatz”, Journal of the American Mathematical Society 1 (4): 963–975, DOI:10.2307/1990996, MR 0944576, arhivirano iz originala na datum 03. 03. 2014, pristupljeno 15. 08. 2019

[14] Lazard, D. (2009). „Thirty years of Polynomial System Solving, and now?”. Journal of Symbolic Computation 44 (3): 222–231. DOI:10.1016/j.jsc.2008.03.004.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]