Kalkulu diferentzial

Nautilus oskolaren espiral logaritmikoa hazkunde konstantea irudikatzeko irudi klasikoa da. Hazkunde klasikoa kalkuluaren kontzeptu garrantzitsua da.

Kalkulu diferentziala kalkulu infinitesimalaren eta analisi matematikoaren zati bat da, funtzio jarraituak bere aldagaien arabera nola aldatzen diren aztertzen duena. Aldagai bakarreko funtzioa $f(x)$ edo $y$ ikurraz adierazten da. Kalkulu diferentzialaren aztergai nagusia deribatua da.^[1] Horrez gain, funtzio baten diferentzialak ere lotura estua du kalkulu diferentzialarekin.

Funtzio baten aldaketaren azterketa biziki interesgarria da kalkulu diferentzialerako; zehazki kalkulu diferentzialak funtzio baten aldagaien aldaketa infinitesimala du aztergai, hau da, aldaketa horrek zerorantz jotzen duen kasua (nahi bezain txiki egiten dena). Izan ere, kalkulu diferentziala limitearen kontzeptuan oinarritzen da . Funtzioen eta geometriaren ikuspuntu filosofikotik, deribatuak $f(x)$ funtzio batek puntu jakin batean zenbateko aldaketa izaten duen adierazten du, aldagaia aldatzen denean. Bestela esanda, deribatua $f(x)$ funtzioaren malda da bere $x$ puntuetan, eta $f'(x)$ , $y'$ edo ${dy \over dx}$ ikurrez adierazten da. Deribatuak erabilgarriak dira funtzioen ahurtasuna eta ganbiltasuna, tarte gorakorrak eta beherakorrak eta maximo eta minimoak aztertzeko. Deribatuaren alderantzizkoa integrala da.

Diferentziazioa eta diferentziagarritasuna

Aldagai bakarreko funtzio bat diferentziagarria da $x_{0}$ puntuan bere deribatua existitzen bada puntu horretan. Bestalde, funtzio bat diferentziagarria da tarte batean tarte horretako puntu guztietan diferentziagarria bada. Funtzio bat jarraitua ez bada $x_{0}$ puntuan, ezin da diferentziagarria izan puntu horretan; aldiz, funtzioa jarraitua izan arren $x_{0}$ -n, ez du zertan diferentziagarria izan. Hortaz, $x_{0}$ puntuan diferentziagarria den funtzioa jarraitua da $x_{0}$ -n, baina $x_{0}$ -n jarraituak diren funtzio guztiak ez dira diferentziagarriak puntu horretan. Adibidez, $f(x)=|x|$ jarraitua da, baina ez da diferentziagarria $x=0$ -n.

Deribatua

Sakontzeko, irakurri: «Deribatu»

$f(x+h)$ eta $f(x)$ puntuen arteko zuzen ebakitzailea

Deribatuak zehazteko, zuzen ebakitzailearen maldaren limitea hartzen da, zuzen ukitzailera hurbildu ahala. Funtzio baten puntu bakarra ezagutzen bada, zaila da puntu horretako zuzen ukitzailearen malda kalkulatzea. Horretarako, zuzen ukitzailea zuzen ebakitzaileen bidez hurbiltzen da. Gertuen dauden zuzen ebakitzaileen malden limitea kalkulatuz, zuzen ukitzailearen malda lortzen da.

Zuzen ebakitzaileen malda kalkulatzeko, izan bedi nahi bezain txikia den $h$ ikurraz adierazitako balioa. $h$ ikurrak $x$ puntu baten aldaketa txikia adierazten du, $x$ -ren balioa handituz edo txikituz. $(x,f(x))$ eta $(x+h,f(x+h))$ puntuen arteko malda honakoa da: ${f(x+h)-f(x) \over h}$ Beraz, $x$ puntuko $f$ funtzioaren deribatua ondoko hau da: $f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$ $f$ -ren deribatua puntu guztietan existitzen bada, $f'$ funtzio bezala adierazi daiteke.

Aldagai anitzeko funtzioak

Aldagai anitzeko funtzioetan, hau da, $f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ motako funtzioetan, ez da nahikoa $x_{0}$ puntuan deribatua existitzea puntu horretan funtzioa diferentziagarria dela esateko. Zehazki, puntuaren ingurunean funtziorako hurbilketa lineala existitu behar da. Oinarri bektoriala emanda, hurbilketa lineal hori matrize Jacobiarrak ematen du: $\lim _{||h||\to 0}{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-J(x_{0})h \over ||h||}$ Aldagai anitzeko funtzio batekin lan egitean, deribatu partzialaren kontzeptua erabiltzen da. Funtzio baten deribatu partziala modu informalean azaltzeko, pentsa daiteke funtzio horren deribatua aldagai batekiko kalkulatu behar dela, gainerako aldagaiak konstante mantentzen diren bitartean. Funtzioa $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ izanik, deribatu partzialak honela adierazten dira: ${\partial \over \partial x_{1}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),{\partial \over \partial x_{2}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,{\partial \over \partial x_{n}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

Historia

Deribatuaren kontzeptua zuzen ukitzailearen bidez adierazitea aspaldikoa da, antzinako zenbait matematikari greziarrek hori ezagutzen baitzuten. Esate baterako, Euklides (K.a. 300), Arkimedes (K.a. 287–212) eta Apolonio Pergakoaren (K.a. 262–190)^[2] garaikoa da kontzeptu hori dagoeneko.

Geroago, aldaketa-erritmoak kalkulatzeko, infinitesimalen erabilera garatu zuen Bhaskara II.ak (1114-1185); izan ere, kalkulu diferentzialaren oinarrizko kontzeptu asko^[3] landu omen zituen matematikari honek, adibidez, Rolleren teoreman aurkitu ahal daitezkeen kontzeptuak.^[4]

Sharaf al-Din al-Tusi matematikari persiarrak (1135-1213), Treatise on Equations bere lanean ekuazio kubiko batzuek soluzioa izan dezaten zenbait baldintza ezarri zituen, polinomio kubiko konkretu batzuen maximoa bilatuz. Adibidez, x-ren balio positiboetarako $ax^{2}-x^{3}$ funtzioaren maximoa $x={2a \over 3}$ dela ikusi zuen eta, beraz $ax^{2}=x^{3}+c$ ekuazioak soluzio positibo bakarra duela ondorioztatu zuen $c={4a^{3} \over 27}$ denean, eta bi soluzio positibo $0<c<{4a^{3} \over 27}$ denean.^[5] Roshdi Rashed zientzialari garaikideak al-Tusik ondorio honetara iristeko funtzio kubikoaren deribatua egin behar izan zuela argudiatu zuen. Rashedek esandakoa zientzialari gehiagok babestu zuten arren, badaude beste metodo batzuk erabilita lor zezakeela esaten dutenak.

Kalkuluaren garapen modernoa Isaac Newtoni (1643-1727) eta Gottfried Wilhelm Leibnizi (1646-1716) esleitu ohi zaie, independenteki zein batera lan egin baitzuten kalkulu diferentzialaren eta deribatuaren inguruan. Gehienbat, kalkulu diferentzialaren oinarrizko teoremaren garapenagatik nabarmendu ziren. Teorema honek diferentziazioa eta integrazioa erlazionatzen ditu, eta zaharkituta utzi zituen azalera eta bolumenak kalkulatzeko aurretik zeuden metodoak. Deribatuak aztertzean, bai Newton eta bai Leibniz, Pierre de Fermatek (1607-1665), Isaac Barrowek (1630-1677), René Descartesek (1596-1650), Christiaan Huygensek (1629-1695), Blaise Pascalek (1623-1662) eta John Wallisek (1616-1703) aurretik egindako lanetan oinarritu ziren. Isaac Barrow deribatuen inguruan lehen pausoak emateagatik ezagutu ohi da. Hala ere, aipatu bezala, Newton eta Leibniz nabarmentzen dira kalkulu diferentzialean. Newton izan zen lehena fisika teorikoan diferentziazioa erabiltzen, eta Leibnizek gaur egun erabiltzen den notazioaren zati handi bat definitu zuen.

XVII. mendetik aurrera matematikari askok beren ekarpenak egin dituzte diferentziazioaren teorian. XIX. mendean, Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) eta Karl Weierstrass (1815-1897) matematikariek asko sakondu zuten kalkuluaren inguruan. Garai horretan ere, diferentziazioa espazio euklidearrera eta plano konplexura orokortu zen.

XX. mendean bi aurrerapauso handi eman ziren deribazioa ulertu eta praktikan jartzerakoan. Lebesgueren integralak, kalkulu integrala funtzio gehiagotara zabaltzeaz gain, deribazioaren eta integrazioaren arteko erlazioa finkatu zuen, jarraitutasun absolutuaren kontzeptuaren bitartez. Ondoren, banaketaren teoriak (Laurent Schwartz-en ondoren) deribazioa funtzio orokortuetara hedatu zuen (adibidez, mekanika kuantikoko Dirac delta funtzioa).

Kalkulu diferentzialaren erabilera nagusiak

Funtzio baten zuzen ukitzailea puntu batean

Deribatuaren balioa funtzio diferentziagarri baten puntu ezberdinetan.

$f(x)$ funtzio baten zuzen ukitzailea zuzen ebakitzailearen limitetzat hartzen da, zuzen ukitzailearen eta funtzioaren arteko ebaki puntu batek beste ebaki punturantz jotzen duenean. Puntu bateko zuzen ukitzailea lortzeko beste modu bat da funtzioaren puntu horretako hurbilketa lineal onena erabiltzea, hau da, funtzioa lokalki hobekien hurbiltzen duen lehen mailako funtzio polinomikoa litzateke zuzen ukitzailea.

$f(x)$ funtzioaren a puntuko $T_{x_{0}}(x)$ zuzen ukitzailearen ekuazioa ezaguna bada, adierazpen hau $f(x)$ funtzioaren nahiko hurbilketa ontzat har daiteke a puntuaren ingurune batean. Ondorioz, $x_{0}+h$ puntu bat hartuz gero, non h 0-tik gertu dagoen, orduan $f(x_{0}+h)-T_{x_{0}}(x_{0}+h)$ ren balioa baztergarria izango da h-ren balio absolutuarekin alderatuz. Beraz, $x$ puntua geroz eta gertuago egon $x_{0}$ puntutik , $T_{x_{0}}(x)$ zuzena $f(x)$ funtzioaren geroz eta hurbilketa hobea izango da.

$f(x)$ funtzioa a puntuan deribagarria bada, orduan honela definitzen da $x_{0}$ puntuko zuzen ukitzailea: $T_{x_{0}}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

Deribatuaren erabilera funtzioak marrazteko

Deribatuak aldagai bakarreko funtzioen grafikoak marrazteko tresna erabilgarriak dira. Zehazki, funtzio bat mutur (maximo edo minimo) lokal batera eramaten duten puntuetan, funtzioaren lehen deribatuak zero balioa hartzen du. Hala ere, puntu kritiko guztiak ez dira muturrak; adibidez, $f(x)=x^{3}$ funtzioak puntu kritiko bat du $x=0$ puntuan, baina hau ez da maximo edo minimo bat, zeladura puntu bat baizik. Puntu hauen izaera definitzeko lehen deribatuaren irizpidea eta bigarren deribatuaren irizpidea erabiltzen dira.

Mutur lokalak aurkitutakoan, errazagoa da funtzioaren itxuraren ideia orokor bat egitea; izan ere, funtzioa monotonoki aldatuko da bi puntu kritikoen artean, hau da, berauek hartzen dituzten balioen arteko balioak izango dituzte tarteko puntu guztiek

Dimentsio bat baino gehiagoko domeinuetan, funtzioak zero balioa hartzen duen deribatu partzial bat izango du mutur lokal batean. Kasu honetan, puntu kritikoen izaera ezagutzeko, bigarren deribatuaren proba egin daiteke matrize hessiarraren balio propioak kontsideratuz. Balio propio guztiak positiboak badira, puntu hau minimo lokala da; negatiboak badira, maximo lokala eta batzuk positiboak eta besteak negatiboak badira, orduan puntua zeladura puntua izango da. Hiru kasu hauetako bat betetzen ez bada, hau da, balio propioetako bat zero bada, orduan proba ez da erabakigarria izango.

Funtzioen optimizazioa

Sakontzeko, irakurri: «Optimizazio (matematika)»

$f(x)$ funtzio diferentziagarria bada $\mathbb {R}$ -n (edo tarte ireki batean) eta $x_{0}$ $f$ -ren maximo edo minimo lokal bat bada, orduan $f(x)$ -ren deribatuaren balioa $x_{0}$ puntuan zero izango da. Puntu horiei, hots, $f'(x_{0})=0$ adierazten direnei, puntu kritiko edo puntu geldikor esaten zaie (eta puntu horretako $f(x)$ -ren balioari balio kritiko deritzo). $f(x)$ eremu guztian diferentziagarria ez bada, diferentziagarriak ez diren puntuak ere puntu kritiko izendatzen dira.

$f(x)$ bi aldiz diferentziagarria bada, definizio-eremuko puntu kritiko baten izaera azter daiteke $f(x)$ -ren bigarren deribatuak puntu horretan hartzen duen balioa ikusita:

Balioa positiboa bada, puntua minimo lokal bat da;

Balioa negatiboa bada, puntua maximo lokal bat da;
Balioa zero bada, zenbait egoera posible daude: Egoera hauen artean aurkitzen dira, adibidez, maximo eta minimo lokalak eta inflexio-puntuak. (Adibidez, $f(x)=x^{3}$ bada, $x=0$ puntu kritiko bat da, baina ez da ez maximo edo minimo lokal bat; $f(x)=x^{4}$ edo $f(x)=-x^{4}$ bada, berriz, $x=0$ puntu kritiko bat da, zehazki, minimoa eta maximoa, hurrenez hurren).

Deribatuak kalkulatu eta puntu kritikoak ebaztea metodo erraza da maximo eta minimo lokalak aurkitzeko. Aurreko hau, optimizazioan oso erabilgarria izan daiteke. Weierstrass-en teoremaren arabera, tarte itxi batean, funtzio jarraitu batek gutxienez behin lortu behar du bere balio minimoa eta maximoa. Funtzioa diferentziagarria bada, minimoak eta maximoak puntu kritikoetan edo mugetan bakarrik egon daitezke.

Teorema hau baliagarria suerta daiteke grafikoen irudikapenean: funtzio diferentziagarri baten maximo eta minimo lokalak aurkitu ondoren, funtzioaren gutxi gorabeherako irudi bat lor daiteke puntu kritikoak irudikatuz eta hauek lotuz.

Dimentsio altuagoko eremuetan, funtzio baten puntu kritikoa da gradienteak zero balio hartzen duen puntua. Puntu horren izaera jakiteko, bigarren deribatuaren irizpidea erabili daitezke, puntu kritikoan funtzioaren bigarren deribatu partzialez osatutako matrize hessiarra-ren balio propioak kontuan hartuz:

Balio propio guztiak positiboak badira, puntua minimo lokal bat izango da.
Balio propio guztiak negatiboak badira, maximo lokal bat izango da.
Balio propio batzuk positiboak badira eta beste batzuk negatiboak, puntu kritikoa zeladura-puntua izango da.
Aurreko kasuetatik bat ere betetzen ez badu, (adibidez, balio propio batzuk zero badira), orduan bigarren deribatuaren irizpideak ez du puntuarekiko informaziorik ematen.

Taylorren hurbilketa orokorra

Sakontzeko, irakurri: «Taylorren teorema»

Aurretik ikusi bezala, posible da funtzio baten hurbilketa bat egitea $a$ puntu baten inguruan, puntu horretan deribagarria bada. Bestalde, deribagarria izateaz gain , $C^{n}$ klasekoa bada, orduan maila altuagoko polinomio baten bidez hurbil daiteke funtzioa. Hurbilketa honek Taylorren garapen izena jasotzen du, eta honela definitzen da: $P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

non $P(x)$ ondokoa den: $f(x)$ funtzioa $x=a$ puntuan hobekien hurbiltzen duen n mailako polinomioa. Konturatu, $P(x)$ polinomioa $x=a$ puntuan ebaluatzen bada, lehenengoa izan ezik, gainerako termino guztiak ezeztatzen direla; ondorioz $a$ puntuan $P(a)=f(a)$ da. Bestalde, aurretik ikusitako zuzen ukitzailea Taylorren garapenaren kasu partikular bat da: $n=1$ , kasua hain zuzen ere.

$a=0$ puntuan, garapen honek McLaurinen garapen izena hartzen du. Praktikan hau da gehien erabiltzen den kasua, eta hurrengo hauek dira McLaurinen garapenen zenbait adibide:

$\sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...$

$e^{x}\approx 1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...$

$ln(1+x)\approx x-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+...$

Kontuan izan aurreko adierazpenek $\approx$ ikurra dutela, hau da, hurbilketak dira; ez dira berdintza zehatzak. Hala ere, funtzioa infinitu aldiz jarraituki deribagarria bada ( $C^{\infty }$ klasekoa) eta infinitu termino gehitzen badira, orduan berdintza izango da eta Taylorren serie deitzen da. Beraien Taylorren seriearen berdinak diren funtzioei funtzio analitiko deitzen zaie.

Erabilera fisikan

Kalkulua oso garrantzitsua da fisikan: prozesu fisiko asko deskribatzean, deribatuak erabiltzen dituzten ekuazioekin lan egiten da, hots, ekuazio diferentzialekin. Fisikak arreta berezia ematen dio denboran zehar kantitateek jasaten duten aldaketa eta garapenari.

Denborarekiko deribatuaren kontzeptua, hau da, denborarekiko aldaketa-tasa, funtsezkoa da zenbait kontzeptu garrantzitsu zehatz definitzeko. Bereziki, fisika newtondarrean garrantzi handia du objektu baten posizioaren denborarekiko deribatuak:

Abiadura objektu baten posizioaren denborarekiko deribatua da.
Azelerazioa objektu baten abiaduraren denborarekiko deribatua da, alegia, objektu baten posizioaren denborarekiko bigarren deribatua da.

Adibidez, zuzen batean, objektu baten posizioa honela adierazten bada:

$x(t)=-16t^{2}+16t+32,$

objektuaren abiadura honela adieraziko da:

$x'(t)=-32t+16,$

eta objektuaren azelerazioa honela adieraziko da:

$x''(t)=-32$ .

Ekuazio diferentzialak

Sakontzeko, irakurri: «Ekuazio diferentzial»

Ekuazio diferentzial bat funtzio-multzo baten eta haien deribatuen arteko erlazioa da. Ekuazio diferentzial arrunt bat da aldagai bakarreko funtzioak eta aldagai horrekiko funtzioaren deribatuak erlazionatzen dituen ekuazio diferentziala. Deribatu partzialeko ekuazio bat, berriz, aldagai bat baino gehiagoren menpeko funtzioak eta deribatu partzialak erlazionatzen dituen ekuazio diferentziala da.

Ekuazio diferentzialak fisikan, modelizazio matematikoan eta matematikan bertan aurki daitezke. Adibidez, azelerazioaren eta indarraren arteko erlazioa deskribatzen duen Newtonen bigarren legea ekuazio diferentzial arrunt gisa adieraz daiteke: $F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ Beroaren ekuazioa beroa makila edo hagaxka zuzen batean zehar nola hedatzen den deskribatzen duen aldagai espazial baten menpeko ekuazio diferentzial partziala da: ${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$ Adibide horretan, $u(x,t)$ -k hagaxkak $x$ posizioan eta $t$ aldiunean duen tenperatura adierazten du. Adierazpen hori $\alpha$ konstantearen menpe dago, eta konstante hau, berriz, beroak hegaxkan zehar zabaltzeko behar duen denboraren araberakoa da.

Kalkulu diferentzialarekin erlazionatutako teoremak

Rolleren teorema

Sakontzeko, irakurri: «Rolleren teorema»

Rolleren teoremaren arabera, tarte ireki baten mugetako bi puntuetan funtzio batek berdina balio badu, existitzen da tartean puntu bat zeinetarako puntu horretan funtzioaren deribatuak zero balioa duen.

Beste era batera adieraziz, teorema honela idatzi ahal daiteke: Izan bitez $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ funtzio jarraitua $[a,b]$ tartean, diferentziagarria $(a,b)$ tartean eta $f(a)=f(b)$ . Orduan, existitzen da $c\in (a,b)$ zeinetarako $f'(c)=0$ den.

Rolleren teorema, batez besteko balioaren teorema erabiliz orokortzen da, hots, lehenengoa bigarrenaren kasu berezia da. Rolleren teorema, aplikazio anitzekoa izanik, kalkuluaren teorema nagusietako bat da.

Batez besteko balioaren teorema

Sakontzeko, irakurri: «Batez besteko balioaren teorema»

Batez besteko balioaren teoremak deribatuaren balioak eta jatorrizko funtzioaren balioak erlazionatzen ditu. Baldin eta $f(x)$ balio errealeko funtzioa bada eta $a$ eta $b$ zenbaki errealak badira, non $a<b$ den, orduan, batez besteko teoremaren arabera, $(a,f(a))$ eta $(b,f(b))$ puntuen arteko malda eta $f(x)$ funtzioarekiko zuzen ukitzailearen malda berdinak dira $c$ puntu batean, $c$ $a$ eta $b$ arteko puntu bat izanik. Bestela esanda, $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$ Praktikan, batez besteko balioaren teoremak funtzio bat haren deribatuaren arabera definitzen du.

Adibidez, $f(x)$ -ren deribatuak zero balio badu eremuko puntu guztietan, horrek esan nahi du funtzioaren zuzen ukitzailea horizontala dela eremu osoan. Ondorioz, funtzioak ere horizontala izan behar du. Batez besteko balioaren teoremak frogatzen du hori egia izan behar dela, $f(x)$ -ren edozein bi punturen arteko maldak eta $f(x)$ -ren lerro ukitzailearen malda berdinak izan behar baitute. Adibide honetan, edozein bi punturen arteko malda zero da; beraz, grafikoko puntu batetik beste puntu batera doan edozein zuzenek ere zero malda izan behar du. Honekin ondoriozta daiteke funtzioa ez dela gorantz edo beherantz mugitzen; eta, ondorioz, lerro horizontala izan behar dela.

Funtzio baten deribatuari baldintza konplexuagoak ezartzen bazaizkio, horren zehatza ez den baina, hala ere, garrantzi handikoa den informazioa lor daiteke jatorrizko funtzioari buruz.

Funtzio inplizituaren teorema

Funtzio inplizituaren teoremak aldagai anitzeko ekuazioak eta funztioak erlazionatzen ditu, ekuazioko aldagai bat gainerakoen funtzio gisa idatziz. Funtzio bat era inplizituan idatzita dago $F(x,y)=0$ moduan idatzita baldin badago; eta mota honetako funtzioak dira, baldintza batzuen mendean, ekuazio batera alda daitezkeen funtzioak.

Hau erabilgarria da funtzio baten grafo gisa adierazi ezin diren forma geometrikoak marrazteko, adibidez, zirkunferentzia marrazteko. $R$ erradioko zirkunferentzia baten ekuazioa $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-R^{2}=0$ da, eta hemendik y x-ren mende idatz daiteke $y(x)=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ funtzioak erabiliz. Aldaketa hau egiteko beharrezkoa da $F(x,y)$ funtzioa jarraituki deribagarria izatea, hau da, bere deribatuak $x$ eta $y$ -rekiko jarraituak izatea.

Erreferentziak

↑ ¿Qué es el cálculo?. (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).
↑ (Ingelesez) «Apollonius - Biography» Maths History (Noiz kontsultatua: 2023-11-28).
↑ «8 V. Bhaskaracharya II» web.archive.org 2016-09-01 (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).
↑ (Ingelesez) Broadbent, T. a. A.. (1968-10). «Mathematics for Liberal Arts. By M. Kline. Pp. xiii, 577. 51s. 1967. (Addison-Wesley.)» The Mathematical Gazette 52 (381): 307–307. doi:10.2307/3614212. ISSN 0025-5572. (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).
↑ Berggren, J. L.; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn. (1990). Rashed, Roshdi ed. «Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt» Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304–309. doi:10.2307/604533. ISSN 0003-0279. (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).

Ikus, gainera

Kanpo estekak

Datuak: Q149999
Multimedia: Differential calculus / Q149999

[1] ¿Qué es el cálculo?. (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).

[2] (Ingelesez) «Apollonius - Biography» Maths History (Noiz kontsultatua: 2023-11-28).

[3] «8 V. Bhaskaracharya II» web.archive.org 2016-09-01 (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).

[4] (Ingelesez) Broadbent, T. a. A.. (1968-10). «Mathematics for Liberal Arts. By M. Kline. Pp. xiii, 577. 51s. 1967. (Addison-Wesley.)» The Mathematical Gazette 52 (381): 307–307. doi:10.2307/3614212. ISSN 0025-5572. (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).

[5] Berggren, J. L.; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn. (1990). Rashed, Roshdi ed. «Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt» Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304–309. doi:10.2307/604533. ISSN 0003-0279. (Noiz kontsultatua: 2023-11-29).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]