Wieferich-Primzahl
Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass durch teilbar ist.
Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:
Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.[1]
Bekannte Wieferich-Primzahlen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913)[2] und 3511 (Beeger 1922).[3] Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 1015 untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht.[4] Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist,[5] als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen und etwa Wieferich-Primzahlen liegen.[6] Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.[7]
Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:[1]
Wenn , wobei und ganze Zahlen sind, eine Primzahl ist und das Produkt nicht teilbar durch , dann ist eine Wieferich-Primzahl, also durch teilbar.
1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch durch teilbar ist.[8] Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind und (Kloss 1965).[9]
Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.
Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Aus der Wieferich-Primzahl kann die Mersenne-Zahl als Produkt konstruiert werden.
- ist somit (trivialerweise, da geradzahlig) nicht prim, und keine Mersenne-Primzahl.
- Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen (mit primen Exponenten ) gibt, die durch teilbar sind. Dabei muss ein Teiler von sein, wenn durch teilbar sein soll.
- Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:
- Da nicht prim ist, handelt es sich bei nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl mit geben, die durch teilbar ist; d. h., dass die Länge der multiplikativen zyklischen Subgruppe von zur Basis 2 prim sein müsste.
- Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen und nicht prim.
- Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".[10]
- Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.
- Bspw. ist zur Basis 3 mit die Bedingung teilt (mit prim) erfüllt.
- Zur Basis 2819 tritt bei das Wieferich-analog sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.
- Für eine Wieferich-Primzahl gilt:
- Mit tritt stets gleichzeitig auf.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch; aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Wieferich@Home - search for Wieferich prime. (englisch)
- Eric W. Weisstein: Wieferich Prime. In: MathWorld (englisch).
- Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ a b Arthur Wieferich: Zum letzten Fermatschen Theorem. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 136, 1909, S. 293–302
- ↑ Waldemar Meißner: Über die Teilbarkeit von 2p−2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 10. Juli 1913, S. 663–667
- ↑ N. G. W. H. Beeger: On a new case of the congruence 2p−1 ≡ 1 (mod p2). In: Messenger of Mathematics, 51, 1922, S. 149–150 (englisch) Textarchiv – Internet Archive
- ↑ François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 1015. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)
- ↑ Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
- ↑ Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. In: Mathematics of Computation, 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
- ↑ Joseph H. Silverman: Wieferich’s criterion and the abc-conjecture. In: Journal of Number Theory, 30, Oktober 1988, S. 226–237 (englisch)
- ↑ D. Mirimanoff: Sur le dernier théorème de Fermat. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences, 150, 1910, S. 204–206, Textarchiv – Internet Archive; erweiterte Version: Sur le dernier théorème de Fermat. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 139, 1911, S. 309–324 (französisch)
- ↑ K. E. Kloss: Some number-theoretic calculations. In: Journal of Research of the National Bureau of Standards, 69B, Oktober–Dezember 1965, S. 335–336 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
- ↑ Eric W. Weisstein: Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).