Satz vom Fußball

Beweisidee

Im Folgenden wird der Fußball idealisiert als Kugel dargestellt. Im Verlauf der ersten Halbzeit führt ein Fußball eine Reihe von Bewegungen im Raum durch. Da der Fußball zu Beginn der zweiten Halbzeit wieder zurück auf den Anstoßpunkt gelegt wird, können im Weiteren die Verschiebungen des Balls außer Betracht bleiben und es brauchen nur die Drehungen des Balls betrachtet zu werden. Jede dieser Drehungen kann durch eine Drehachse und einen Drehwinkel beschrieben werden. Punkte im Raum, die sich auf der Drehachse befinden, verändern bei einer Drehung ihre Position nicht.

Eine wichtige Eigenschaft des dreidimensionalen Raums ist nun, dass jede Hintereinanderausführung von zwei oder mehreren Drehungen durch eine einzige Drehung beschrieben werden kann. Die Drehachse dieser Drehung durchstößt dabei die Oberfläche des Fußballs an zwei diametral gegenüberliegenden Punkten (Antipoden). Diese beiden Punkte müssen sich demnach zu Beginn der ersten und der zweiten Halbzeit an derselben Stelle im Raum befinden.^[3]

Beweis

Nach Wahl eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Kugelmittelpunkt als Koordinatenursprung kann jede Drehung im Raum durch eine Drehmatrix ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$ beschrieben werden. Eine Drehmatrix ist dabei eine orthogonale Matrix mit Determinante ${\displaystyle \det D=1}$. Führt eine Kugel insgesamt ${\displaystyle n}$ Drehungen durch, dann können diese durch ${\displaystyle n}$ Drehmatrizen ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n}}$ angegeben werden. Die Hintereinanderausführung dieser Drehungen entspricht dann dem Matrizenprodukt

${\displaystyle Q=D_{n}\cdot \ldots \cdot D_{1}}$

der Drehmatrizen. Weil das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder orthogonal ist (siehe orthogonale Gruppe) und die Determinante des Produkts zweier Matrizen gleich dem Produkt der Determinanten ist (Determinantenproduktsatz), ist auch die Matrix ${\displaystyle Q}$ wieder eine orthogonale Matrix mit Determinante ${\displaystyle \det Q=1}$. Sind nun ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ und ${\displaystyle \lambda _{3}}$ die drei (im Allgemeinen komplexen) Eigenwerte von ${\displaystyle Q}$, dann gilt

${\displaystyle 1=\det Q=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \lambda _{3}}$.

Da für die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle |\lambda |=1}$ gilt und komplexe Eigenwerte paarweise komplex konjugiert auftreten, muss mindestens ein Eigenwert von ${\displaystyle Q}$ reell und gleich ${\displaystyle 1}$ sein. Dies bedeutet wiederum, dass es einen Eigenvektor ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}}$ geben muss, für den

${\displaystyle Q\,x=1\,x}$

gilt. Ein solcher Vektor ${\displaystyle x}$ und jedes skalare Vielfache dieses Vektors wird demnach durch die Matrix ${\displaystyle Q}$ auf sich selbst abgebildet. Die lineare Hülle ${\displaystyle \langle x\rangle }$ dieses Vektors definiert eine Ursprungsgerade, die die Kugeloberfläche in zwei Punkten schneidet. Dies sind die beiden gesuchten Punkte, die bei der Gesamtdrehung festgehalten werden.^[3]