Rotation (Physik)

Rotation, auch Rotationsbewegung, Drehung, Drehbewegung oder Gyralbewegung, ist in der klassischen Physik eine Bewegung eines Körpers um eine Rotationsachse. Der Begriff Rotation wird sowohl für eine einmalige Drehung um einen bestimmten Winkel gebraucht als auch für eine fortlaufende Bewegung mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit. Die Rotationsachse kann, muss aber nicht durch den Massenmittelpunkt des Körpers gehen. Wenn die Rotationsachse durch den Masseschwerpunkt des Körpers verläuft, nennt man sie auch Eigenrotation. Ein weiterer Spezialfall der Rotation eines Körpers ist die gleichmäßige Kreisbewegung.

Der Begriff gehört in der Physik zu den Teilgebieten Mechanik und Kinematik. In der Astronomie tritt er unter anderem im Zusammenhang mit den Veränderungen der Erdrotation und den Bewegungen von anderen Objekten wie von Sternen bis hin zu Galaxien auf. Anwendungen aus dem Alltag und Beispiele, die oft zur anschaulichen Erklärung der mit der Rotation verbundenen Erscheinungen genutzt werden, sind der Kreisel und das Karussell.

Bei der Rotation bleiben alle Punkte der Rotationsachse an ihrem Ort (Fixpunkte), während alle anderen Punkte sich in festem Abstand von der Achse auf einem senkrecht zur Achse liegenden Kreis um denselben Winkel bzw. mit derselben Winkelgeschwindigkeit um sie herum bewegen. Daher bleiben auch die Längen der Verbindungslinien je zweier Punkte des Objekts und die Winkel dazwischen gleich.

Eine endliche Rotation ist eindeutig durch die Angabe eines Fixpunkts und eines Vektors charakterisiert, der parallel zur Rotationsachse liegt und durch seine Länge den Drehwinkel angibt. Im Falle einer fortschreitenden Rotationsbewegung ist dieser Vektor die Winkelgeschwindigkeit. Die Rotation um einen bestimmten Punkt eines festgehaltenen Bezugssystems kann daher durch die drei Komponenten des zugehörigen Vektors beschrieben werden. Eine andere Möglichkeit ist die Angabe der drei Eulerwinkel.

Die folgende Tabelle vergleicht die charakteristischen Größen und die Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung mit jenen bei einer Rotationsbewegung. Aufgrund der Analogien lässt sich jeder Satz über die Translation durch Ersetzen der entsprechenden Größen in einen Satz über die Rotation umwandeln.^[1]

Weitere Informationen : ...

Translationsbewegung	Rotationsbewegung
Ortsvektor: ${\displaystyle {\vec {r}}}$	Drehwinkel ${\displaystyle \varphi }$ bzw. Drehmatrix: ${\displaystyle A}$
Geschwindigkeit: ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}}$ (1)	Winkelgeschwindigkeit: ${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {\mathbf {u} }}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{3}}$ (3)
Beschleunigung: ${\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {r}}}}$	Winkelbeschleunigung: ${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}}$
Masse: ${\displaystyle \ m}$ (Skalar)	Trägheitstensor: ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ (Tensor zweiter Stufe, in Sonderfällen Skalar ${\displaystyle I}$) (2)
Kraft: ${\displaystyle {\vec {F}}=m\,{\vec {a}}}$	Drehmoment: ${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}$
Impuls: ${\displaystyle {\vec {p}}=m\,{\vec {v}}}$	Drehimpuls (2): ${\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}}$
Antrieb (linear) / Kraftstoß: ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}=\int {\vec {F}}\mathrm {d} t}$	Antrieb (Rotation) / Drehstoß: ${\displaystyle \Delta {\vec {L}}=\int {\vec {M}}\mathrm {dt} }$
Kinetische Energie: ${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}m\,{\vec {v}}^{2}\equiv {\frac {1}{2}}{\vec {v}}\cdot {\vec {p}}}$	Rotationsenergie: ${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}}$
Arbeit: ${\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\int {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\ \mathrm {d} t}$	Arbeit bei Drehbewegung (Dreharbeit): ${\displaystyle W=\int {\vec {M}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\varphi }}=\int {\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}\ \mathrm {d} t}$
Leistung: ${\displaystyle P={\dot {W}}={\vec {F}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}$	Leistung bei Drehbewegung (Drehleistung): ${\displaystyle P={\dot {W}}={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}}$
Bewegungsgleichungen
Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft (Impulssatz): ${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}}$	Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft (Drallsatz): ${\displaystyle {\dot {\vec {L}}}={\vec {M}}}$
Im Falle konstanter Masse ${\displaystyle m}$ (Zweites newtonsches Axiom): ${\displaystyle m\,{\vec {a}}={\vec {F}}}$	Im Falle konstanten Trägheitsmoments ${\displaystyle I}$: (2) ${\displaystyle I{\vec {\alpha }}={\vec {M}}}$

Schließen

⁽¹⁾ 

Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren zeitliche Änderung (Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}$) handelt. Der Punkt zwischen zwei Vektoren bedeutet das Skalarprodukt.

⁽²⁾ 

Im Allgemeinen zeigen ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ und ${\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}}$ nicht in die gleiche Richtung (ein rotierender Körper „eiert“ oder zeigt Unwucht), daher ist das Trägheitsmoment im Allgemeinen nicht konstant. Das Äquivalent zur Masse der Translationsbewegung ist daher ein Tensor 2. Stufe – der Trägheitstensor. Ein konstantes Trägheitsmoment tritt genau dann auf, wenn der Körper um eine seiner Hauptträgheitsachsen rotiert.

⁽³⁾ 

ausgedrückt in den Ableitungen der Eulerwinkel. ${\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}_{i}}$ Drehachsen (Einheitsvektoren).

Um die Orientierung eines starren Körpers im Raum eindeutig zu beschreiben, sind drei skalare (Winkel-)Angaben notwendig. Zwei davon geben nur die Richtung seiner Rotationsachse an, die dritte, wie weit der Körper um diese Achse gedreht wurde.

Bei der Rotationsbewegung eines starren Körpes gibt es bei freier Drehbewegung mindestens zwei stabile Drehachsen (Moment-freie Achse) durch den Massenmittelpunkt: die Hauptträgheitsachse mit dem kleinsten oder dem größten Trägheitsmoment ist stabil. Sind alle drei Hauptträgheitsmomente verschieden, ist die Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment in einem labilen Zustand, weil kleinste Störungen zu starken Torkelbewegungen führen (siehe z. B. Dschanibekow-Effekt).

Versucht man, einen starren Körper um eine andere Achse rotieren zu lassen als eine seiner Hauptträgheitsachsen, so entstehen Momente, die ihn dazu bringen wollen, seine momentane Rotationsachse zu verändern. Wird die Achse nicht durch Lager, die Drehmomente auf sie ausüben, festgehalten, gerät der Körper ins Taumeln.

Bei einer kräftefreien freien Rotation bleibt der Drehimpuls erhalten, der im Allgemeinen nicht kollinear mit der Winkelgeschwindigkeit ist. Somit ändert sich dann laufend die Drehachse, was umgangssprachlich als „Torkeln“ oder „Eiern“ bezeichnet wird, technisch und wissenschaftlich – je nach Art der Achsenbewegung – als Taumeln der Rotationsachse oder als sekundärer Achsfehler, Präzession oder Nutation.

Unabhängig von anderen Einflüssen ist jeder Kreisel quasi-integrabel, bei dem entweder sehr wenig oder sehr viel Energie (im Vergleich zur potentiellen Energiedifferenz zwischen unterem und oberem Totpunkt) in der Rotation steckt. Die chaotischsten Bewegungen bei den nicht integrablen Typen treten unabhängig von der Form dann auf, wenn die kinetische Energie des Kreisels gerade ausreicht, den oberen Totpunkt zu erreichen. Die genauere Behandlung erfolgt mit Hilfe der eulerschen Kreiselgleichungen, für nähere Erklärungen siehe den Hauptartikel oder dort.

In den folgenden Spezialfällen lassen sich die eulerschen Kreiselgleichungen analytisch lösen. Die Trajektorien des Systems, insbesondere die Winkelgeschwindigkeiten, haben hier einen periodischen Verlauf.