Como você usa técnicas de pivotamento e dimensionamento para melhorar a precisão e a estabilidade da eliminação gaussiana?

1 O que é pivotar?

Pivotar é uma técnica que envolve a troca de linhas ou colunas de uma matriz para evitar a divisão por um elemento de pivô pequeno ou zero. Um elemento de pivô é a entrada diagonal de uma matriz que é usada para eliminar as entradas abaixo dele. Se o elemento de pivô for muito pequeno, o processo de eliminação pode introduzir erros grandes ou até mesmo falhar. O pivotamento também pode ajudar a reduzir o crescimento de erros de arredondamento e melhorar o condicionamento da matriz.

2 O que é dimensionamento?

O dimensionamento é uma técnica que envolve multiplicar cada linha ou coluna de uma matriz por um fator para tornar as entradas mais equilibradas e comparáveis. O dimensionamento pode ajudar a evitar o transbordamento ou o subfluxo de números e reduzir a sensibilidade da matriz a perturbações. O dimensionamento pode ser feito antes ou depois do pivotamento, dependendo dos critérios e do algoritmo.

3 Como realizar o pivotamento parcial?

O pivotamento parcial é um tipo de pivotamento que troca linhas de uma matriz para tornar o elemento de pivô o maior em magnitude em sua coluna. Isso pode ajudar a evitar a divisão por zero e minimizar a propagação de erros. Para executar o pivotamento parcial, você precisa localizar a linha com o maior valor absoluto em cada coluna abaixo da diagonal. Se o maior valor não estiver na diagonal, você deve trocar as linhas para colocá-lo lá. Em seguida, execute a eliminação gaussiana na matriz pivotada.

4 Como realizar o pivotamento completo?

O pivotamento completo é um tipo de pivotamento que troca linhas e colunas de uma matriz para tornar o elemento de pivô o maior em magnitude em toda a matriz. Esta técnica pode reduzir o crescimento do erro e melhorar a estabilidade da solução. Para executar o pivotamento completo, você deve primeiro procurar a linha e a coluna com o maior valor absoluto na submatriz abaixo e à direita da diagonal. Se não estiver na diagonal, troque as linhas e colunas para colocá-lo lá. Em seguida, execute a eliminação gaussiana na matriz pivotada, mantendo o controle de quaisquer permutações de linha ou coluna.

5 Como realizar o escalonamento por equilíbrio?

Dimensionamento por equilíbrio é um tipo de dimensionamento que multiplica cada linha e coluna de uma matriz por um fator para tornar o valor absoluto máximo em cada linha e coluna igual a um. Esta técnica pode ajudar a melhorar o condicionamento da matriz e reduzir o efeito de entradas grandes ou pequenas. Para executar o dimensionamento por equilíbrio, você deve primeiro encontrar o valor absoluto máximo em cada linha e coluna. Em seguida, divida cada linha e coluna pelo seu valor máximo, resultando em uma matriz dimensionada com entradas entre -1 e 1. Finalmente, você pode executar o pivotamento desejado e a eliminação gaussiana na matriz dimensionada, mantendo o controle dos fatores de dimensionamento.

6 Como realizar o escalonamento por normas?

Dimensionamento por normas é um tipo de dimensionamento que multiplica cada linha e coluna de uma matriz por um fator para tornar a norma de cada linha e coluna igual a um. Essa norma é uma medida do tamanho ou comprimento de um vetor, e existem diferentes tipos, como a 1-norma, a 2-norma, ou a norma-infinita. O dimensionamento por normas pode ajudar a equilibrar a importância relativa de diferentes linhas e colunas e reduzir a amplificação de erros. Para fazer isso, você deve primeiro encontrar a norma de cada linha ou coluna usando o mesmo tipo de norma para linhas e colunas. Em seguida, divida cada linha e coluna por sua norma, resultando em uma matriz dimensionada com normas de unidade para cada linha e coluna. Finalmente, execute o pivotamento desejado e a eliminação gaussiana na matriz dimensionada, mantendo o controle dos fatores de escala.

7 Veja o que mais considerar

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