Nombroteorio

Nombroteorio estas branĉo de matematiko dediĉita al la studado de ecoj de entjeroj kaj ties ĝeneraligoj (ekz. algebraj entjeroj). La demandoj pri la plej granda komuna divizoro, la plej malgranda komuna oblo, malkomponado je primoj, prezento de natura nombro en iu certa formo, ĝia dividebleco kaj aliaj temoj estas studobjektoj de la nombroteorio. Ĝi inkluzivas ankaŭ teoriojn de komparoj, diofantaj ekvacioj, eble ĉenaj frakcioj, diofantaj alproksimiĝoj, transcendaj ekvacioj (vidu transcenda nombro) k.a.

Multaj problemoj en nombroteorio estas tre facile kaj koncise formuleblaj sed tre malfacile solveblaj, kaj konsiderindaj branĉoj de moderna matematiko estis evoluigitaj en provo solvi tiajn problemojn. Bonkonata ekzemplo estas la lasta teoremo de Fermat, kaj problemoj kiuj estas ankoraŭ malfermitaj kiel la Goldbach-konjekto (ĉiu para nombro pli granda ol 2, estas sumo de du primoj), la konjekto pri ĝemelaj primoj (laŭ kiu ekzistas malfinio da paroj de primoj kun la nombra diferenco de nur 2 inter ili) kaj la hipotezo de la primaj kurbaj nombroj (laŭ kiu ekzistas malfinio da primoj de Mersenne kaj rezulte estas senfineco da perfektaj nombroj).

Ekde la 1980-aj jaroj nombroteorio trovis surprizajn aplikojn en ĉifrado (kriptografio); ĝi ebligis la unuajn nesimetriajn ĉifrojn.

En speciala literaturo oni ofte trovas ankaŭ sinonimajn terminojn – Teorio de Nombroj aŭ Teorio pri Nombroj.

Historio

La naturaj nombroj akompanas la homon de la komenco de kulturo. Oni ne scias ĝuste kiam la afero naskiĝis en "abstraktaj" demandoj rilataj al nombroj, demandoj kiuj ne rekte rilatas al nombrado de objektoj.

Antikvaj argiltabuleto de babilonio, de la periodo inter 1900 kaj 1600 a.K., diskutas pitagoraj triopoj, uzante la pozician nombrosistemon kun bazo 60, tio estas, entjeroj kiuj kontentigas la kondiĉon $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Fama tableto nomita Plimpton 322, origine opiniita enhavi rekordon de komercaj transakcioj, estas fakte neta kaj sufiĉe preciza listo de tiaj triopoj, kvankam estas ne certe ke tio estas kion la babilonanoj celis.

La teorio de nombroj prosperis en antikva Grekio, precipe en la verkoj de Pitagoro, Eŭklido kaj Diofanto.

Famaj kontribuantoj al la evoluo de tiu branĉo en modernaj tempoj estas Fermat, Euler kaj Gauss.

Kampoj kaj fakaĵoj

Elementa nombroterio

Elementa nombroterio esploras entjerojn sen la teknikoj el aliaj matematikaj fakoj. Demandoj pri dividebleco, uzo de la Eŭklida algoritmo por komputi la plej grandan komunan divizoron, faktorado de entjeroj al primoj kaj esplorado de perfektaj nombroj estas ekzemploj de elementa nombroterio.

Kelkaj gravaj malkovroj de tiu ĉi fako estas la malgranda teoremo de Fermat, la teoremo de Eŭler, la ĉina restaĵa teoremo kaj la leĝo de kvadrata reciprokeco. Elementa nombroterio ankaŭ inkluzivas la ecojn de multiplikaj funkcioj kiel la funkcio de Möbius kaj la Eŭlera φ-funkcio, entjeraj vicoj, faktorialoj kaj Fibonaĉi-nombroj.

Analitika nombroteorio

Analitika nombroteorio uzas ilojn de infinitezima kalkulo kaj kompleksajn funkciojn (vidu Kompleksa analitiko) por trakti problemojn implikantajn la ecojn de entjeroj. Ĉi tiuj iloj estas plej utilaj por studi la ecojn de primoj: La prima teoremo, ŝlosila teoremo kiu priskribas la densecon de tiuj nombroj, estis pruvita uzante analitikajn metodojn, kiel havas multajn aliajn rezultojn ligitajn al primoj (en 1949 Paŭlo Erdős kaj Atela Salberg trovis "elementan" pruvon de la prima teoremo (Tiu ĉi pruvo ne uzas analitikajn metodojn, sed ĝi estas konsiderata pli komplika kaj malfacila ol la analitika pruvo). La Riemana hipotezo estas grava ankoraŭ nesolvita problemo kiu eliris el analitika nombroteorio, kaj nefermitaj problemoj kiel la Goldbach-hipotezo estas esploritaj per similaj rimedoj.

Alia grava branĉo de analitika nombroteorio estas Diopent-aproksima teorio, kiu traktas racionalajn proksimumadojn al neracionalaj nombroj kaj ebligas studi la kompletajn solvojn de ekvacioj kiel ekzemple $17+x^{3}=y^{2}$

Algebra nombroteorio

Algebra nombroteorio traktas algebrajn entjerojn, kiuj estas ĝeneraligo de ordinaraj entjeroj: nombroj kiel $2+3{\sqrt {5}}$ aŭ ${\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ estas algebraj entjeroj. Tiuj nombroj havas, sub certaj supozoj, trajtojn similajn al ordinaraj entjeroj, kaj povas esti uzataj por pli facile ataki problemojn en nombroteorio.

Aritmetika algebra geometrio

Aritmetika algebra geometrio esploras problemojn en nombroteorio per iloj kiuj kombinas geometrion kaj algebron.

La ĉefaj objektoj studitaj en la kampo estas aritmetikaj skemoj. En ĉi tiu kampo speciale grava estas la studado de elipsaj kurboj kaj la kompletaj kaj raciaj punktoj sur ili; la pruvo de Wiles de la hipotezo konata kiel "la lasta teoremo de Fermat" apartenas al tiu sfero. La nomo geometria nombroteorio (aŭ geometrio de nombroj) rilatas al la pli klasika kampo, aparte la teorio de Minkowski kiu diskutas la geometrion de kradoj.

Komputebla nombroteorio

Komputebla nombroteorio traktas la studon de algoritmoj kiuj estas signifaj al nombroteorio. Algoritmoj por rapida testado de ĉu antaŭfiksita nombro estas primo aŭ malkomponita en faktoroj estas de granda graveco en kriptografio, kampo kiu faris nombroteorion de teoria branĉo al tre utila branĉo.

Probablisma nombroteorio

Probablisma nombroteorio aplikas metodojn de probableco al nombroteorio, precipe koncerne la nombron de la primaj faktoroj de nombro. Unu el la fondintoj de ĉi tiu Torao estis Paŭlo Erdős.

Konjektoj kaj hipotezoj

Multaj demandoj en nombroteorio estas formuleblaj pere de nur bazaj nombroteoriaj terminoj, sed por solvi ilin povas necesi tre profunda konsiderado kaj novaj aliroj ekster la fako de baza nombroteorio. Ekzemploj estas:

• La konjekto de Goldbach pri la esprimo de paraj nombroj kiel sumoj de du primoj.
• La konjekto de Catalan pri sekvaj entjeraj potencoj.
• La ĝemela prima konjekto pri la nefinieco de la aro de primaj paroj
• La konjekto de Collatz pri simpla ripeto
• La lasta teoremo de Fermat (asertita en 1637, sed nur pruvita en 1995) pri la neebleco trovi nenulajn entjerojn x, y, kaj z tiaj, ke $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ kie n estas entjero pli granda ol 2.

La teoremon de Diofantaj ekvacioj oni pruvis esti nedecidebla. (Vidu artikolon la deka problemo de Hilbert)

Analitika Nombroteorio

Analitika nombroteorio uzas infiniteziman kalkulon kaj kompleksan analitikon por solvi demandojn pri entjeroj. La prima teoremo (PT) kaj la parenca hipotezo de Riemann estas ekzemploj. Oni provas solvi ankaŭ la problemon de Waring (reprezenti entjeron kiel sumo de potencigitoj), la ĝemelan priman konjekton (pri la trovado de nefinie multaj primaj paroj kun diferenco de 2), kaj la konjekton de Goldbach (pri la skribado de paraj entjeroj kiel sumoj de du primoj), per analitikaj metodoj. Oni klasas ankaŭ pruvojn pri la transcendeco de matematikaj konstantoj, kiel π kaj e, en analitika nombroteorio. Kvankam deklaroj pri transcendaj nombroj eble ŝajnas ne esti parto de la studado de entjeroj, ili vere temas pri la eblaj valoroj de polinomoj kiuj havas entjerajn koeficientojn de, ekzemple, e; ili ankaŭ proksime ligas al la fako de Diofantaj ekvacioj, kie oni esploras "kiel bone" reelo povas esti proksimume kalkulata de racionalo.

Algebra Nombroteorio

En algebra nombroteorio, la koncepto pri nombro estas pligrandigita al la algebraj nombroj kiuj estas radikoj de polinomoj kun racionalaj koeficientoj. Ĉi tiuj kampoj enhavas partojn anagolajn al la entjeroj, la tiel-nomatajn algebrajn entjerojn. En tiu ĉi kadro, la familiaraj trajtoj de la entjeroj (ekz. unika disfaktorado) ne necese veras. La bonaĵo de la iloj uzitaj - Teorio de Galois, grupa kohomologio, klaskampa teorio, grupa prezento, kaj L-funkcioj - estas ke ili ebligas al ni iom rehavi tiun ordon por ĉi tiu nova speco de nombroj.

Multajn nombroteoriajn demandojn oni plej bone alproksimiĝas per la studado kiel modulo p, kie ĉiuj primoj estas p (vidu artikolon finiaj fakoj).

Nombroteorio estas la formala studado de nombroj.

Fakuloj

• Hermann Weyl

Literaturo

• Becker, Oskar (1936). "Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente". Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien. 3: 533–553.
• Clark, Walter Eugene (trad.) (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Alirita en 2016-02-28.
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 74 (reviziita 3a eld.). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
• Edwards, Harold M. (Novembro 1983). "Euler and Quadratic Reciprocity". Mathematics Magazine. 56 (5): 285–291. doi:10.2307/2690368. JSTOR 2690368.
• Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica. Toulouse: Joannis Pech. Alirita en 2016-02-28.
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trad.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (6a eld.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0.

Vidu ankaŭ

• Diofanta ekvacio
• Konjekto de Goldbach
• Kribrilo de Eratosteno

Eksteraj ligiloj

• Nombroteorio en la Encyclopedia of Mathematics.
• Retejo pri Nombroteorio