Parameterform

Darstellung

In der Parameterform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und einen Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {u}}}$ beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {u}}}$   mit   ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Geraden, der auch als Aufpunkt bezeichnet wird. Der Richtungsvektor ist der Differenzvektor (Verbindungsvektor) zu einem beliebigen weiteren Punkt der Geraden. In der Parameterform werden die Punkte der Geraden in Abhängigkeit von dem Parameter ${\displaystyle s}$ dargestellt. Jedem Wert von ${\displaystyle s}$ entspricht genau ein Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter die reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden. Ist ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ein Einheitsvektor, dann gibt ${\displaystyle |s|}$ gerade den Abstand eines Punkts auf der Geraden vom Aufpunkt an.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Geradengleichung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}+su_{1}\\p_{2}+su_{2}\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$. Im Bild oben ist der Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}={\tbinom {2}{2}}}$ und der Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {u}}={\tbinom {2}{-1}}}$, man erhält als Geradengleichung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+2s\\2-s\end{pmatrix}}}$.

Jede Wahl von ${\displaystyle s}$, beispielsweise ${\displaystyle s=0}$ oder ${\displaystyle s=1}$, ergibt dann einen Geradenpunkt.

Berechnung

Verallgemeinerung

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch Geraden im drei- oder höherdimensionalen Raum beschreiben. Im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {u}}}$   mit   ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit ${\displaystyle n}$-komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet.

Darstellung

In der Parameterform wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum durch einen Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und zwei Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}}$   mit   ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, der wiederum als Aufpunkt bezeichnet wird. Die beiden Richtungsvektoren, hier auch Spannvektoren genannt, müssen in der Ebene liegen und ungleich dem Nullvektor sein. Sie dürfen auch nicht kollinear sein, das heißt ${\displaystyle {\vec {u}}}$ darf sich nicht als Vielfaches von ${\displaystyle {\vec {v}}}$ schreiben lassen und umgekehrt. In der Parameterform werden die Punkte der Ebene in Abhängigkeit von den zwei Parametern ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$ dargestellt. Jedem Wertepaar dieser Parameter entspricht dann genau ein Punkt der Ebene. Die Richtungsvektoren spannen somit ein affines Koordinatensystem auf, wobei ${\displaystyle (s,t)}$ die affinen Koordinaten eines Punkts der Ebene sind.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Ebenengleichung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}+su_{1}+tv_{1}\\p_{2}+su_{2}+tv_{2}\\p_{3}+su_{3}+tv_{3}\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$. Ist beispielsweise der Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}=(3,2,1)^{T}}$ und sind die Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {u}}=(2,-1,0)^{T}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}=(-1,0,2)^{T}}$, so erhält man als Ebenengleichung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3+2s-t\\2-s\\1+2t\end{pmatrix}}}$.

Jede Wahl von ${\displaystyle (s,t)}$, beispielsweise ${\displaystyle (0,0)}$ oder ${\displaystyle (1,2)}$, ergibt dann einen Ebenenpunkt.

Berechnung

Verallgemeinerung

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Ebenen im dreidimensionalen Raum, sondern auch in höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Ebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}}$   mit   ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit ${\displaystyle n}$-komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet.