Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$, dabei sind ${\displaystyle N_{lm}}$ Normierungsfaktoren und ${\displaystyle P_{lm}(z)}$ die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten):

${\displaystyle Y_{lm}:\;\left[0,\pi \right]\times \left[0,2\pi \right]\rightarrow \mathbb {C} ,\quad (\vartheta ,\varphi )\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,N_{lm}\,P_{lm}(\cos \vartheta )\,e^{\mathrm {i} m\varphi }}$ ${\displaystyle \quad {\text{mit}}\quad N_{lm}:={\sqrt {{\tfrac {2l+1}{2}}\,{\tfrac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}}$

Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet.

Der Winkelanteil des Laplace-Operators zeigt sich, wenn dieser in Kugelkoordinaten geschrieben wird:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=\Delta _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }}$

Der rechte, eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil ${\displaystyle \Delta _{\vartheta ,\varphi }}$ bezeichnet. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta _{\vartheta ,\varphi }}$.

Die Laplacesche Differentialgleichung in Kugelkoordinaten

${\displaystyle \Delta f(r,\vartheta ,\varphi )\ =0}$

hat neben der trivialen Lösung, ${\displaystyle f=0}$, verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen.

Zur Lösung wird folgender Produktansatz verwendet, wobei ${\displaystyle R_{l}(r)}$ nur vom Radius und ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$ nur von Polar- und Azimutwinkel abhängt:

${\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )=R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Dies ergibt eingesetzt:

${\displaystyle \Delta R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )\Delta _{r}R_{l}(r)+{\frac {R_{l}(r)}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=0}$

Multiplikation von ${\displaystyle r^{2}}$ und Division durch ${\displaystyle R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$ liefert:

${\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}+{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}=0}$

Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn in beiden Summanden unabhängig voneinander Radius und Winkel variierbar sind. Beide Summanden müssen somit denselben konstanten Wert annehmen, der zu ${\displaystyle l(l+1)}$ gewählt wird (diese Festlegung erweist sich später als sinnvoll):

${\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}=l(l+1)=-{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}}$

Durch dieses Verfahren, welches Separationsansatz genannt wird, wurde also das ursprüngliche Problem, nämlich die Lösung der Laplace-Gleichung (partielle Differentialgleichung mit drei unabhängigen Variablen), auf das einfachere Problem der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (Radialgleichung)

${\displaystyle \Delta _{r}R_{l}(r)={\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R_{l}(r)}$

und einer partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhängigen Variablen (winkelabhängige Gleichung), die gerade von den Kugelflächenfunktionen erfüllt wird, reduziert.

${\displaystyle \Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Nun lässt sich aufgrund der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen zeigen, dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lässt:

${\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )\ =\sum _{l,m}R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Aufgrund der Linearität des Laplace-Operators lassen sich also durch Addition der Lösungen der Radialgleichung, multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen, beliebig viele Lösungen der Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Lösungsraumes der Laplace-Gleichung.

Die Kugelfunktionen wurden besonders von Legendre (Kugelfunktionen erster Art), Laplace (Kugelfunktionen zweiter Art) und Carl Gottfried Neumann (Kugelfunktionen mit mehreren Veränderlichen) behandelt.

Die Eigenwertgleichung

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

wird mit folgendem Produktansatz separiert:

${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\vartheta )\Phi _{m}(\varphi )}$

Umsortieren liefert:

${\displaystyle \underbrace {{\frac {\sin ^{2}\vartheta }{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )+\sin ^{2}(\vartheta )(l(l+1))} _{m^{2}}=\underbrace {-{\frac {1}{\Phi _{m}(\varphi )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )} _{m^{2}}}$

Um beide Seiten getrennt voneinander variieren zu können, müssen beide Seiten den gleichen konstanten Wert annehmen. Diese Separationskonstante wird als ${\displaystyle m^{2}}$ gewählt. Es ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die Polargleichung

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )={\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}-l(l+1)}$

und die Azimutalgleichung.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )=-m^{2}\Phi _{m}(\varphi )}$

Die Azimutalgleichung wird durch ${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )=A\exp(\mathrm {i} m\varphi )}$ gelöst, wobei die ${\displaystyle m}$ wegen der Zusatzbedingung der Eindeutigkeit auf der Kugeloberfläche ${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi +2\pi )=\Phi _{m}(\varphi )}$ eingeschränkt sind auf ganze Zahlen ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} m2\pi )=1}$. Mit ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\Phi _{m}(\varphi )|^{2}\mathrm {d} \varphi {\overset {!}{=}}1}$ erhält man die normierte Lösung der Azimutalgleichung:

${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(\mathrm {i} m\varphi ),\quad m\in \mathbb {Z} }$

Die Polargleichung kann mit einem Potenzreihenansatz gelöst werden. Die Lösungen sind nur dann endlich, eindeutig und stetig, wenn

${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0},\quad |m|\leq l}$.

Dann sind die Lösungen die zugeordneten Legendrepolynome ${\displaystyle P_{lm}(\cos \vartheta )}$ und mit ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }|\Theta _{lm}(\vartheta )|^{2}\sin(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta {\overset {!}{=}}1}$ erhält man die normierte Lösung der Polargleichung:

${\displaystyle \Theta _{lm}(\vartheta )={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )}$

Die Gesamtlösung des Winkelanteils ist das Produkt aus den beiden erhaltenen Lösungen, nämlich die Kugelflächenfunktionen.

${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\vartheta )\Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )\exp(\mathrm {i} m\varphi )}$

Die Darstellung der Kugelflächenfunktionen ${\displaystyle Y_{lm}:S^{2}\rightarrow \mathbb {C} }$ ergibt sich als Lösung der oben genannten Eigenwertgleichung. Die konkrete Rechnung liefert:

${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi ):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}N_{lm}P_{lm}(\cos \vartheta )e^{\mathrm {i} m\varphi }}$

Dabei sind

${\displaystyle P_{lm}(x):={\frac {(-1)^{m}}{2^{l}l!}}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{l+m}}{\mathrm {d} x^{l+m}}}(x^{2}-1)^{l}}$

die zugeordneten Legendrepolynome und

${\displaystyle N_{lm}:={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}}$

sind Normierungsfaktoren. Mitunter ist die Berechnung über:

${\displaystyle P_{lm}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{m}P_{l}(x)}$

mit

${\displaystyle P_{l}(x)={\frac {1}{2^{l}}}\sum _{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-2k)!}}x^{l-2k}}$

vorteilhafter (${\displaystyle \lfloor l/2\rfloor$ :={\mathrm {abrunden} }(l/2)} ), da ${\displaystyle l}$-faches Ableiten entfällt.

Eine andere Definition geht über homogene, harmonische Polynome. Diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes homogene harmonische Polynom vom Grad n lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit ${\displaystyle r^{n}}$ schreiben und umgekehrt. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x, y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von ${\displaystyle r^{n}}$ die Funktionen

${\displaystyle 1{\frac {}{}}}$

${\displaystyle \cos {\varphi }\sin \vartheta =\Re {(e^{\mathrm {i} \varphi })}\sin \vartheta }$,

${\displaystyle \sin \varphi \sin \vartheta =\Im {(e^{\mathrm {i} \varphi })}\sin \vartheta }$,

${\displaystyle \cos \vartheta {\frac {}{}}}$.

Für die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme ${\displaystyle x^{2}-y^{2},xy,x^{2}+y^{2}-2z^{2}{\frac {}{}}}$ wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.

Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:

• Orthonormalitätsrelation: (${\displaystyle \delta _{ij}}$ ist das Kronecker-Delta)

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\mathrm {d} \Omega \\&\quad =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\,\sin {\vartheta }\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad =\delta _{l\,l'}\,\delta _{mm'}\\\end{aligned}}}$

• Vollständigkeit: (${\displaystyle \delta (x)}$ ist die Delta-Distribution)

${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\delta (\varphi -\varphi ')\delta (\cos {\vartheta }-\cos {\vartheta '})}$

• Parität: Der Übergang ${\displaystyle {\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}}$ sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus: ${\displaystyle (r,\vartheta ,\varphi )\rightarrow (r,\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )}$. Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:

${\displaystyle Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )=(-1)^{l}\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

• Komplexe Konjugation: Die jeweiligen ${\displaystyle Y_{l,-m}}$ erhält man aus den ${\displaystyle Y_{lm}}$ durch:

${\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta ,\varphi )=(-1)^{m}\cdot Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}$

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen ${\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )}$ (mit ${\displaystyle \vartheta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:

${\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{+l}c_{lm}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Die Entwicklungskoeffizienten ${\displaystyle c_{lm}}$ berechnen sich zu:

${\displaystyle c_{lm}=\int _{\varphi =0}^{2\pi }\int _{\vartheta =0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\cdot f(\vartheta ,\varphi )\cdot \sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi }$

Dabei ist ${\displaystyle Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}$ das komplex-konjugierte zu ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$. Die Darstellung einer Funktion ${\displaystyle f(x)}$ mit ${\displaystyle \sin }$- und ${\displaystyle \cos }$-Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion ${\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )}$ mit ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$ auf einer Kugeloberfläche.

Ein Resultat für die Kugelflächenfunktionen ist das Additionstheorem. Hierfür seien zwei Einheitsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und ${\displaystyle {\vec {x}}'}$ durch Kugelkoordinaten ${\displaystyle (\vartheta ,\,\varphi )}$ bzw. ${\displaystyle (\vartheta ',\,\varphi ')}$ dargestellt. Für den Winkel ${\displaystyle \gamma }$ zwischen diesen beiden Vektoren gilt dann

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \vartheta \cos \vartheta '+\sin \vartheta \sin \vartheta '\cos(\varphi -\varphi ')\,.}$

Das Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen besagt nun

${\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ').}$

Das Theorem kann auch anstelle der Kugelflächenfunktionen ${\displaystyle Y_{lm}}$ mit den zugeordneten Legendrefunktionen ${\displaystyle P_{lm}}$ geschrieben werden

${\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )=P_{l}(\cos \vartheta )P_{l}(\cos \vartheta ')+2\sum _{m=1}^{l}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{lm}(\cos \vartheta )P_{lm}(\cos \vartheta ')\cos(m(\varphi -\varphi ')).}$

Für ${\displaystyle \gamma =0}$ erhält man aus dem Additionstheorem

${\displaystyle \sum _{m=-l}^{l}|Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )|^{2}={\frac {2l+1}{4\pi }}.}$

Dies kann als eine Verallgemeinerung der Identität ${\displaystyle \cos ^{2}\vartheta +\sin ^{2}\vartheta =1}$ auf drei Dimensionen angesehen werden und ist als Unsöld-Theorem (nach Albrecht Unsöld) bekannt.^[1]

• Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen Georg Reimer, Berlin 1861, 2. Auflage 1878.
• Albert Wangerin: Theorie Des Potentials Und Der Kugelfunktionen II Band. Walter de Gruyter, Berlin 1921. (University of Michigan)
• E. W. Hobson: The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics. Cambridge University Press, 1931, Chelsea 1955
• Josef Lense: Kugelfunktionen. Geest u. Portig 1954
• Claus Müller: Spherical Harmonics. Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Nr. 17, 1966

Kugelflächenfunktionen werden auch in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt, z. B.:

• Arnold Sommerfeld: Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6 Partielle Differentialgleichungen der Physik. Harri Deutsch, 1992
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin / New York 1999, S. 649 ff.
• Torsten Fließbach: Elektrodynamik. 4. Auflage, Spektrum, München 2005, S. 99 ff.

• Visualization of Spherical Harmonics
• Hydrogen Atom Orbital Viewer