Klammer (Zeichen)

Runde Klammern

(…) : (griechisch/engl.: parentheses [AE] oder round brackets [BE]): die üblichen Klammern, wie sie im Fließtext verwendet werden, um Satzteile abzusondern und umschließend zusammenzufassen. Unicode: U+0028 und U+0029

Eckige Klammern

[…] : (engl.: brackets [AE] oder square brackets [BE]): Diese werden u. a. verwendet, wenn innerhalb eines Klammerausdrucks etwas geklammert werden soll oder um Auslassungen und Einfügungen in Zitaten kenntlich zu machen. In der Linguistik werden Phone in der Regel in eckige Klammern gesetzt.^[2] Beispiele: [ˈbaɪ̯ˌʃpiːlə] (IPA-Lautschrift); „[AE]“ und „[BE]“ in diesem Absatz, „[sic]“ und „[…]“. Unicode: U+005B und U+005D

Geschweifte/geschwungene Klammern (Akkoladen)

{…} : auch Nasenklammern (engl.: braces [AE] oder curly brackets [BE], fr.: accolades) genannt: Diese werden selten verwendet, um mehrere Zeilen zusammenzufassen. Sie haben beispielsweise in Wörterbüchern eine spezielle Bedeutung. Unicode: U+007B und U+007D

Winkelklammern

⟨…⟩ : auch „spitze Klammern“ genannt (engl.: angle brackets; Unicode: U+27E8 und U+27E9, bzw.: siehe unten〈…〉 im Abschnitt CJK-Klammerungen). Sie werden nur selten verwendet. In Wörterbüchern haben sie eine spezielle Bedeutung, etwa wird die (etymologische) Herkunft eines Wortes in Winkelklammern gesetzt,^[3] seltener auch Stilangaben in Wörterbüchern.^[4] In der Linguistik werden Grapheme und Graphemketten in Winkelklammern gesetzt. Da diese Zeichen im ASCII-Zeichensatz fehlen, werden stattdessen oft die ASCII-Zeichen „Kleiner als“ < und „Größer als“ > (Unicode: U+003C und U+003E; HTML: < und >) benutzt. Letztere werden in der elektronischen Datenverarbeitung oft zur Kennzeichnung von Verknüpfungen verwendet, zum Beispiel bei der Kombination von Name und E-Mail Adresse: Max Mustermann <max.mustermann@example.com>

CJK-Klammerungen

In den CJK-Schriften sind weitere Arten von Klammern gebräuchlich; der Unicode-Zeichenstandard enthält die zusätzlichen Kodierungen dafür.

Schrägstriche

Im Internationale Phonetische Alphabet (IPA) werden Zeichen von zwei Schrägstrichen eingeklammert, um den Anfang und das Ende der phonologischen Transkription anzugeben.

Eckige Klammern

Das IPA unterscheidet die Eckige Klammer links „[“ und die Eckige Klammer rechts „]“.

Im IPA geben die Zeichen „[“ und „]“ jeweils den Beginn bzw. das Ende der phonetischen Transkription an; sie besitzen die IPA-Nummern 901 bzw. 902 (HTML-Entity [ = [ und ] = ]).

Geschweifte/geschwungene Klammern

Die geschweiften/geschwungenen Klammern im Internationalen Phonetischen Alphabet zeigen den Anfang bzw. das Ende prosodischer Notation an; (HTML-entities { = { und } = }).

Gruppierungsklammern in Termen

Klammern gruppieren Teilterme und können damit die Rang- und Reihenfolge der Berechnung verändern oder dienen lediglich der optischen Zusammenfassung von Teiltermen. Hier werden üblicherweise runde Klammern verwendet:

${\displaystyle a+b\cdot c}$		Da die Multiplikation Vorrang hat („Punktrechnung vor Strichrechnung“), bedeutet dies, dass zuerst ${\displaystyle b\cdot c}$ berechnet wird und ${\displaystyle a}$ zu dem Ergebnis addiert wird.
${\displaystyle (a+b)\cdot c}$		Durch die Klammern wird angezeigt, dass zuerst die Summe ${\displaystyle a+b}$ berechnet werden soll und diese dann mit ${\displaystyle c}$ multipliziert wird.

Bei komplexen Termen oder wenn spezielle Teilterme kenntlich gemacht werden sollen, können diese mit eckigen Klammern eingefasst werden.

Beispiel:

${\displaystyle \left[(a+b)^{2}-(a+c)^{2}\right]^{2}-\left[(a+b)^{2}+(n^{2}-1)\right]^{2}}$

statt

${\displaystyle \left((a+b)^{2}-(a+c)^{2}\right)^{2}-\left((a+b)^{2}+(n^{2}-1)\right)^{2}}$

Die typografische Größe einer Klammer wird meist ihrer hierarchischen Stellung angepasst, wie im letzten Beispiel.

Mengenklammern

Bei Mengendefinitionen werden üblicherweise geschweifte Klammern benutzt:

${\displaystyle M:=\{1,2^{2},3^{3},4^{4},\ldots ,n^{n},\ldots \}\cup \{x\mid x^{2}<2^{x}\}}$

Intervallklammern

Für Intervalle existieren verschiedene Notationen. Die beiden gebräuchlichsten sind im Falle eines offenen Intervalles ${\displaystyle A=\{x\mid a<x<b\}}$ und eines halboffenen Intervalles ${\displaystyle B=\{x\mid a\leq x<b\}}$:

• ${\displaystyle A=\left]a;b\right[\quad B=\left[a;b\right[}$
• ${\displaystyle A=(a;b)\quad B=[a;b)}$

Statt eines Strichpunktes wird oft ein Komma zur Trennung der Intervallgrenzen verwendet, wenn eine Verwechslung mit dem Dezimalkomma ausgeschlossen ist.

Funktionsargumente

Normalerweise werden Argumente von Funktionen in runde Klammern gesetzt, gelegentlich auch in spitze, um eine bessere Unterscheidbarkeit zu gruppierenden Klammern zu ermöglichen:

${\displaystyle f\left\langle x+y\right\rangle +x(y+z)}$ statt ${\displaystyle f(x+y)+x(y+z)}$

In der Variante links ist die Anwendung der Funktion ${\displaystyle f}$ unzweideutig von der Multiplikation (ohne Zeichen) von ${\displaystyle x}$ mit der Summe ${\displaystyle y+z}$ zu unterscheiden. Anzutreffen ist eine solche Schreibweise vor allem dort, wo in komplex geklammerten Termen verschiedene Funktionen auftauchen, etwa in der Statistik:^[5]

${\displaystyle \operatorname {cov} \left\langle X_{1},X_{2}\right\rangle =E\left\langle (X_{1}-E\left\langle X_{1}\right\rangle )(X_{2}-E\left\langle X_{2}\right\rangle )\right\rangle }$

Und-Klammern

Wenn mehrere Aussagen vertikal in einer großen geschweiften Klammer gruppiert werden, bedeutet das, dass diese Und-verknüpft werden. Beispiel:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x\geq 3\\x\leq y\end{matrix}}\right\}}$ ist gleichbedeutend mit ${\displaystyle (x\geq 3)\;\wedge \;(x\leq y)}$.

Spezielle Operatoren

Andere ebenfalls paarig verwendete Klammern sind spezielle Operatoren oder Funktionen:

• ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ (manchmal auch ${\displaystyle [x]}$) bezeichnet die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ („Gaußklammer“)
• ${\displaystyle \textstyle \left\lceil x\right\rceil }$ bezeichnet die kleinste ganze Zahl größer oder gleich ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \left|x\right|}$ bezeichnet den Betrag von ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ist eine Notation für den Mittel- oder Erwartungswert einer Größe
• ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ kann einen Binomialkoeffizienten bezeichnen (wenn ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ ganzzahlig sind und ${\displaystyle n\geq k}$) oder eine Matrix, diese Matrix kann einen Vektor darstellen
• ${\displaystyle \textstyle s_{n,k}=\left[{n \atop k}\right]}$ bezeichnet die Stirling-Zahlen erster Art
• ${\displaystyle \textstyle S_{n,k}=\left\{\!{n \atop k}\!\right\}}$ bezeichnet die Stirling-Zahlen zweiter Art
• ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$ ist ein Skalarprodukt aus den Einzelvektoren ${\displaystyle \mathbf {x} }$ und ${\displaystyle \mathbf {y} }$; davon abgeleitet ist die Bra-Ket-Notation.
• ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ bezeichnet auch die Cantorsche Paarungsfunktion.
• ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ ist der Kommutator der zwei Operatoren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$, der Antikommutator zweier Operatoren im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik. Eine alternative Schreibweise ist ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}}$.
• ${\displaystyle \textstyle \left\{F,G\right\}=\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}\right)}}$ ist die Poissonklammer, ein bilinearer Differentialoperator in der hamiltonschen Mechanik.
• ${\displaystyle [F(x)]_{a}^{b}}$ ist die Kurzschreibweise des Integrals ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ , siehe auch Integralrechnung.
• ${\displaystyle (x)_{n},(x)^{n}}$ bezeichnet die Fallende bzw. Faktorielle. Aber Verwechslungsgefahr mit dem Pochhammer-Symbol, das je nach Autor auch als ${\displaystyle x^{(n)}}$, ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ oder ${\displaystyle (x,n)}$ dargestellt wird.

Ableitungen

Höhere Ableitungen werden oft statt mit Ableitungsstrichen mit einem Exponenten in runden Klammern gekennzeichnet, was die Lesbarkeit verbessert:

${\displaystyle f^{(4)}=f''''\,}$

Diese Notation wird ebenfalls verwendet, wenn die Anzahl der Ableitungen selbst über eine Variable oder einen Term ausgedrückt werden soll:

${\displaystyle f^{(n+1)}=f^{(n)}+f^{(n-1)}\,}$