Was sind perfekte oder vollkommene Zahlen?

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Was versteht man unter vollkommenen Zahlen?

Eine vollkommene Zahl ist eine natürliche Zahl, bei der die Summe ihrer echten Teiler der Zahl selbst entspricht. Ein echter Teiler ist ein anderer Teiler als die Zahl selbst.

Was sind perfekte Zahlen?🤔

Eine perfekte Zahl ist eine Zahl, die der Summe ihrer echten Teiler entspricht. Die ersten bekannten perfekten Zahlen sind:
6: Teiler 1, 2, 3 → 1 + 2 + 3 = 6
28: Teiler 1, 2, 4, 7, 14 → 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
496: Teiler 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 → Summe = 496
8128: Die Summe der Teiler ergibt auch hier wieder die Zahl selbst.
Bis heute sind nur 51 perfekte Zahlen bekannt. Die größte davon wurde 2018 entdeckt und besteht aus über 23 Millionen Ziffern.

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Eine kleine Geschichte perfekter Zahlen

Vollkommene oder auch perfekte Zahlen stehen mit der Suche nach den Primzahlen von Mersenne in Zusammenhang. In seinem Buch "Elemente", sagt Euklid, dass 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) eine perfekte Zahl ist, wenn die Mersenne-Zahl 2ⁿ-1 eine Primzahl ist.

Der französische Philosoph René Descartes vermutete in einem Brief an Mersenne, dass jedes perfekte Paar euklidisch ist, aber er hat seine Theorie nicht bewiesen.

Es war der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, der die Beobachtung von Descartes als Erster bestätigte.

Die Kombination der Ergebnisse von Euklid und Euler ermöglicht auch eine vollständige Charakterisierung vollkommener Zahlen.

300 v. Chr.:

Euklid

beschreibt die Formel für perfekte Zahlen in seinem Werk Elemente.

2. Jahrhundert n. Chr.:

Nikomachos von Gerasa und Theon von Smyrna

Dokumentieren die ersten vier perfekten Zahlen.

1456:

Fünfte Zahl

Die fünfte perfekte Zahl (33.550.336) wird in einem lateinischen Kodex erwähnt.

1588:

Cataldi

Entdeckt die sechste (8.589.869.056) und siebte perfekte Zahl (137.438.691.328).

1772:

Leonhard Euler

Entdeckt die achte perfekte Zahl (2.305.843.008.139.952.128) und bestätigt, dass alle geraden perfekten Zahlen euklidisch sind.

1950:

Ein Duzend

Insgesamt 12 perfekte Zahlen bekannt.

1990er Jahre:

GIMPS

Dank GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) beschleunigt sich die Entdeckung neuer Mersenne-Primzahlen.

2018:

51.

Die 51. perfekte Zahl wird entdeckt. Sie besteht aus über 23 Millionen Ziffern.

Die ersten vier vollkommenen Zahlen sind seit der Antike bekannt. Sie sind in den Werken von Nikomachos von Gerasa und Theon von Smyrna zu finden. Und die fünfte perfekte Zahl wird in einem lateinischen Kodex von 1456 erwähnt.

Die sechste und siebte perfekte Zahl wurden von Cataldi im 16. Jahrhundert und die achte im Jahr 1772 von Euler gefunden.

So kannten wir zu Beginn der 1950er Jahre 12 perfekte Zahlen, aber seitdem hat sich die Forschung dank immer ausgefeilterer Techniken und Computeranwendungen in den 1990er Jahren wie GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) beschleunigt.

Aber wofür brauchen wir die perfekten Zahlen?

Wenn Primzahlen von vielen Mathematikern als Grundlage der Arithmetik angesehen werden, haben perfekte Zahlen keinen besonderen Nutzen, da sie nicht zum Lösen einer Gleichung oder einer Faktorisierung beitragen und nicht in den Bereich der Kryptographie fallen.

Sie galten zuvor als allen anderen überlegen und einige sahen in ihnen eine mystische Rolle:

Sechs ist eine perfekte Zahl für sich, nicht weil Gott alle Dinge in sechs Tagen erschaffen hat, sondern Gott hat alle Dinge in sechs Tagen erschaffen, weil diese Zahl perfekt ist.
Sankt Augustin in "Die Stadt Gottes" (420 n. Chr.)

Sie gehören zu den Geheimnissen der Mathematik und die Suche nach neuen perfekten Zahlen fasziniert noch heute viele Mathematiker.

Die Vermutungen in Bezug auf die perfekten Zahlen sind zahlreich. Eine Vermutung ist eine Regel, die nie bewiesen wurde. Hier sind drei:

Die perfekten Zahlen von Euklid sind alle gerade, da einer der Faktoren eine Potenz von 2 ist. Im Moment beweist jedoch nichts, dass es keine ungeraden perfekten Zahlen gibt.
Alle bekannten perfekten Zahlen enden mit 6 oder 28, aber auch das mag nicht stimmen.
Es ist auch nicht bewiesen, dass es wirklich unendlich viele perfekte Zahlen gibt.

Grüner Computercode vor schwarzem Hintergrund — Die Mathematik hat die Computerrevolution vorangebracht - und umgekehrt! | Quelle: Pixabay

Die Sätze zu vollkommenen Zahlen

Der Satz von Fermat von 1640: sei Mn = 2ⁿ-1 ; Wenn Mn eine Primzahl ist, dann ist n eine Primzahl.

Um festzustellen, dass wenn 2ⁿ-1Primzahl ist, n selbst Primzahl ist, müssen wir die Behauptung beweisen, dass 2ⁿ-1 auch zusammengesetzt ist, wenn n zusammengesetzt ist.
Sei n = ab mit a, b> 1 und der Identität x^k − 1 = (x − 1)(x^k-1 +x^k-2 + · · · + x + 1) mit x = 2^a et k = b.
Es folgt dann 2^ab − 1 = (2^a − 1)(2^{a (b-1)}+2^{a (b-2)} + · · · +2^a + 1), was zeigt, dass 2ⁿ−1 = 2^ab−1 zusammengesetzt ist, da als zwei Faktoren jeweils größer als 1 berücksichtigt (weil a> 1).

Der Satz von Euklid: Wenn Mn eine Primzahl ist, dann ist 2^n-1 Mn eine perfekte Zahl.

Wir akzeptieren die Funktion σ (n) als Summe aller Teiler der positiven ganzen Zahl n. Eine perfekte Zahl k ist charakterisiert durch σ (k) = 2k.
Die Funktion σ hat die folgende Eigenschaft: Wenn a und b zwei natürliche Primzahlen sind, ist σ (ab) = σ (a) σ (b).

Zusätzlich: da Mn eine Primzahl ist, haben wir:

σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2ⁿ− 1) = 2n ;
σ(2^n-1) = 1 + 2 + 2²+ 2³ + · · · + 2^n-1= 2ⁿ − 1 = Mn.

Also ist σ(2^n-1Mn) = σ(2^n-1)σ(Mn) = Mn 2ⁿ= 2(2^n-1Mn).

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