e-Funktion
Die e-Funktion gehört zur Gruppe der Exponentialfunktionen und wird auch „natürliche Exponentialfunktion“ genannt. Um die e-Funktion zu verstehen, schauen wir uns in diesem Artikel alle Themen an, die du für die Rechnung mit der e-Funktion benötigst.
Inhaltsverzeichnis
- Grundlagen Exponentialfunktion
- Rechnen mit der e-Funktion
- Ableiten der Exponentialfunktion
- Integrieren der e-Funktion
- Symmetrieverhalten
- Grenzverhalten
- Steckbriefaufgaben mit e-Funktion
Grundlagen Exponentialfunktion
Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis b), wenn sie die Form
\begin{align*}
f(x) = b^x,
\end{align*}
aufweist, wobei b eine beliebige positive Konstante bezeichnet.
Falls b=e ist, spricht man im Allgemeinen von „der“ e-Funktion.
Bitte lasst euch nicht von diesem „e“ verwirren. Es handelt sich hierbei um die eulersche Zahl – eine ganz normale Zahl e = 2,718281828459045235.. . Die Form der Exponentialfunktion erinnert uns an die des Potenzausdrucks, wobei hier die Rolle von Basis und Exponent vertauscht wird!
Hier können wir also nicht wie gewohnt ableiten und müssen den Ausdruck für Ableitungszwecke umschreiben.
Es gilt:
\begin{align*}
b^x = e^{\ln(b)\cdot x}
\end{align*}
Für den Fall das b=e ist, gilt als Folge der Potenzgesetze für die e-Funktion:
\begin{align*}
e^0=1, \ \ e^1=e, \ \ e^x \cdot e^y = e^{x+y}
\end{align*}
Hier seht ihr den Graphen der e-Funktion
Wie ihr sehen könnt verläuft der Graph der e-Funktion immer oberhalb der x-Achse. Der Graph nähert sich zwar der x-Achse an, wird diese aber nicht schneiden. Dies bedeutet wiederum, dass die klassische e-Funktion keine Nullstellen besitzt.
Der streng monoton steigende verlauf der Funktion schneidet die y-Achse im punkt (0|1).
Thema e-Funktion noch nicht verstanden? Schaut euch die Einleitung von Daniel zu dem Thema an!
Neu!
Rechnen mit der e-Funktion
Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus ln.
Ein nützlicher Zusammenhang ist
\begin{align*}
e^{\ln(x)} = x \quad \textrm{bzw.} \quad \ln(e^x)=x.
\end{align*}
Achtet auf die Logarithmengesetze! Es folgen einige Beispiele zum Lösen e-Funktionen:
\begin{align*}
e^{2x}\cdot (x^2-2) = 0 \\
e^{2x}= 0 \ \vee \ x^2-2&=0 \quad |+2 \\
x^2&=2 \quad |\sqrt{ ~~} \\
x_1=\sqrt{2} &\wedge x_2=-\sqrt{2}
\end{align*}
Warum bringt $e^{2x}= 0$ keine Lösung? Wenn man beide Seite logarithmiert folgt $\ln(2x)=\ln(0)$. Da der natürliche Logarithmus aber für 0 nicht definiert ist ($D=(0,\infty))$, gibt es keine Lösung.
Beispiele
\begin{align*}
1. \quad 8e^{-2x}-16&=0 \quad\quad \quad \ \mid+16 \\
8e^{-2x} &= 16 \quad \quad \ \ \mid:8 \\
e^{-2x}&=2 \quad \quad \ \quad | \ln \\
\ln(e^{-2x})&=\ln(2) \\
-2 x&= \ln(2) \quad \quad |:(-2) \\
x&= -\ln(2)/2
\end{align*}
\begin{align*}
2. \quad 4e^{3x}-e^{2x}&=0 \quad \quad \quad|+e^{2x} \\
4e^{3x} &= e^{2x} \quad \quad \ | \ln \\
\ln(4 \cdot e^{3x})&=\ln(e^{2x}) \\
\ln(4)+\ln(e^{3x})&=2x \\
\ln(4)+3x&=2x \\
\ln(4)&=-x \\
-\ln(4)&=x
\end{align*}
Schau dir zur Wiederholung die komplette Playlist zum Thema Exponentialsfunktion an!
Ableiten der Exponentialfunktion
Eine e-Funktion wird folgendermaßen abgeleitet: Ihr verwendet „offiziell“ die Kettenregel, aber es geht eigentlich um einiges einfacher. Wir betrachten dafür die Funktion
\begin{align*}
f(x)= e^{5x},
\end{align*}
welche wir nach x ableiten wollen. Dafür schreiben wir einfach den Term mit der e-Funktion nochmal hin und multiplizieren das Ding mit dem abgeleiteten Exponenten. Der Exponent ist hier 5x und abgeleitet wäre das einfach 5. Dann folgt für die Ableitung
\begin{align*}
f'(x)= e^{5x} \cdot 5.
\end{align*}
Weiteres Beispiel
\begin{array}{c|c}
f(x) & f'(x) \\ \hline
e^x & e^x\\ \hline
2e^x & 2e^x \\
3e^x & 3e^x \\ \hline
e^{2x} & 2e^{2x}\\
e^{3x} & 3e^{3x} \\
e^{x^2}& 2xe^{x^2} \\
e^{2-4x} & -4e^{2-4x} \\ \hline
20e^{3x} & 3 \cdot 20 e^{3x} \\
x \cdot e^{2x} & Produktregel \\
\end{array}
$
Falls eine e-Funktion mit anderen Funktionen multipliziert wird, müssen wir die bereits bekannte Produktregel anwenden.
Wie das geht, könnt ihr euch nochmals in diesem Video anschauen!
Neu!
Weiteres Beispiel
\begin{align*}
f(x)&= \underbrace{(x^2-2)}_{\text{u(x)}} \cdot \underbrace{e^{-2x}}_{\text{v(x)}} \\
\textrm{mit} \quad u(x)&=x^2-2 \quad u'(x)=2x \\
\textrm{und} \quad v(x)&=e^{-2x} \quad \quad v'(x)= -2e^{-2x}
\end{align*}
Somit ergibt sich für die erste Ableitung:
\begin{align*}
f'(x)=2xe^{-2x}+(x^2-2) \cdot (-2e^{-2x})
\end{align*}
Wer möchte, kann diesen Ausdruck jetzt noch etwas umschreiben:
\begin{align*}
f'(x) &= e^{-2x} (2x+(x^2-2)(-2)) \\
&=e^{-2x}(2x-2x^2+4) \\
&=e^{-2x}(-2x^2+2x+4)
\end{align*}
Daniel zeigt euch im Video, wie ihr die Exponentialfunktion ableiten könnt
Neu!
Integrieren der e-Funktion
\begin{array}{c|c}
f(x) & F(x) \\ \hline
e^x & e^x\\
e^{2x} & \frac{1}{2}e^{2x} \\
e^{3x} & \frac{1}{3}e^{3x} \\
e^{4-2x} & \frac{-1}{2}e^{4-2x} \\
20e^{10x} & \frac{20}{10}e^{10x} \\
3e^{5-2x} & \frac{3}{-2}e^{5-2x} \\
e^{x^2}, e^{x^3} &\textrm{Geht nicht!} \\ \
2x\cdot e^{-2x} & \textrm{Partielle Integration} \\
2x\cdot e^{x^2} & \textrm{Substitution} \\
\end{array}
Egal ob Nullstellen bestimmen, Ableitung oder Stammfunktion bilden: Achtet auf die Struktur der Funktion! Steht da nur eine Summe oder Differenz, ist ein Produkt aus Term mit einer Variablen mal e hoch irgendwas zu erkennen?
Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zum Thema Stammfunktion bei e-Funktion an.
Symmetrie der e-Funktion
Ist $f(x)=x^2\cdot e^{-x^2}$ achsensymmetrisch zur y-Achse? Dann müsste gelten:
\begin{align*}
f(-x)&=f(x) \\
(-x)^2\cdot e^{-(-x)^2} &= x^2\cdot e^{-x^2} \\
x^2\cdot e^{-x^2} &= x^2\cdot e^{-x^2} \
\end{align*}
Ist $f(x)=-10x \cdot e^{x^2}$ punktsymmetrisch zum Ursprung? Dann müsste gelten:
\begin{align*}
f(-x)&=-f(x) \\
-10 \cdot (-x) \cdot e^{(-x)^2} &= -\left(-10x \cdot e^{x^2} \right) \\
10 x \cdot e^{x^2} &= 10x \cdot e^{x^2} \
\end{align*}
Schau dir Daniels Lernvideo zum Thema Symmetrie an.
Grenzverhalten der e-Funktion
Exponentialfunktionen und ihre Graphen werden auf dieselbe Weise untersucht wie ganzrationale Funktionen. Nur das Verhalten
einer Exponentialfunktion für $x \to + \infty$ und für $x \to – \infty$ wird durch andere Regeln beherrscht.
- Für $x \to + \infty$ strebt $e^x \to + \infty$.
- Für $x \to -\infty$ strebt $e^x \to 0$, d.h. die x-Achse ist die Asymptote des Graphen von f mit $f(x)=e^x$.
Darüber hinaus gilt für $n \geq 1$:
- Für $x \to + \infty$ strebt $x^n \cdot e^x \to + \infty$.
- Für $x \to – \infty$ strebt $x^n \cdot e^x \to 0$, d.h. die x-Achse ist die Asymptote des Graphen von f mit $f(x)=x^n \cdot e^x$.
Beispiel 1
$f(x)=(x^2-1)e^{-2x}$
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty} \quad \underbrace{(x^2-1)}_{\rightarrow +\infty} \cdot \underbrace{e^{-2x}}_{\rightarrow 0} \quad &\rightarrow 0 \\ \\
\lim_{x \to -\infty} \quad \underbrace{(x^2-1)}_{\rightarrow +\infty} \cdot \underbrace{e^{-2x}}_{\rightarrow +\infty} \quad &\rightarrow +\infty
\end{align*}
Merkt euch: Bei der Betrachtung des Grenzverhaltens orientieren wir uns an der e-Funktion – die am stärksten wachsende Funktion.
Beispiel 2
Betrachten wir den Graph von $f(x)=(x^2-1)e^{-2x}$, bestätigt sich unsere Grenzwertberechnung.
- lassen wir x gegen $-\infty$ laufen, strebt die Funktion gegen +$\infty$
- lassen wir x gegen $\infty$ laufen, strebt die Funktion gegen 0, somit ist die x-Achse Asymptote
Daniel erklärt dir das Grenzverhalten bei einer e-Funktion nochmal in seinem Lernvideo.
Steckbriefaufgaben mit e-Funktion
Denkt an die Schritte bei Steckbriefaufgaben. Es kann sein, dass die gesuchte Funktion die Form
\begin{align*}
f(x)=a\cdot e^{-kx}
\end{align*}
aufweisen soll. Es liegen somit zwei Unbekannte vor und die Aufgabe müsste zwei Bedingungen hergeben. In unserem Beispiel sollen die Funktion durch die Punkte P(2|4) und Q(5|200) gehen. Wir stellen somit unser Gleichungssystem auf
\begin{align*}
\text{I}& \quad \quad 4=a \cdot e^{-2k} \\
\text{II}& \quad 200= a\cdot e^{-5k}
\end{align*}
und lösen es nach den Unbekannten a und k auf. Möglichkeit: Gleichung $\text{I}$ nach a umstellen und in $\text{II}$ einsetzen. Wir erhalten dann für k=-1,3 und a=0,6 und damit die gesuchte Funktion:
\begin{align*}
f(x)= 0,6 \cdot e^{1,3\cdot x}
\end{align*}
Ein einfaches Beispiel wäre, wenn die gesuchte Funktion die Form
\begin{align*}
f(x)=4\cdot e^{-kx}
\end{align*}
aufweist und durch den Punkt P(2|10) soll. Warum einfacher? Weil es nur eine Unbekannte k gibt.
Neu!
Wie man eine e-Funktion mittels 2 Punkte aufstellt, zeigt dir Daniel hier in seinem Lernvideo.
Weitere Vertiefungsvideos findest du in Daniels Playlist zum Thema e-Funktion!